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$\eta$ désignant un nombre qui diffère infiniment peu de l’unité. On prouvera de même que la somme

$-\mathrm {B} _{0}\mathrm {f} (-x)+\mathrm {B} _{1}\mathrm {f} (x+2a)-\mathrm {B} _{2}\mathrm {f} (-2a-x)+\ldots$

est équivalente à

(24)

$-{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-a}^{0}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }\mathrm {f} (-\mu )d\mu \,d\alpha -\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-2a}^{-a}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }\mathrm {f} (\mu +2a)d\mu \,d\alpha \ldots \right],$

ou, ce qui revient au même,

(25)

$\left\{{\begin{aligned}&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha (x+\mu )\mathrm {i} }\left[1+\eta e^{2a\alpha \mathrm {i} }+{\text{etc.}}\right]\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha \\&+{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }\left[e^{2a\alpha \mathrm {i} }+\eta e^{4a\alpha \mathrm {i} }+\ldots \right]\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha \\=&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha x\mathrm {i} }{\frac {e^{\alpha \mu \mathrm {i} }-e^{2a\alpha \mathrm {i} }e^{-\alpha \mu \mathrm {i} }}{1-\eta e^{2a\alpha \mathrm {i} }}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha \\=&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha x\mathrm {i} }{\frac {e^{(\mu -a)\alpha \mathrm {i} }-e^{(a-\mu )\alpha \mathrm {i} }}{e^{-a\alpha \mathrm {i} }-\eta e^{a\alpha \mathrm {i} }}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha .\end{aligned}}\right.$

Par suite, la valeur générale de $f_{0}(x)$ deviendra

(26)

$f_{0}(x)=$

$+{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha x\mathrm {i} }\left[{\frac {e^{(a-\mu )\alpha \mathrm {i} }-e^{(\mu -a)\alpha \mathrm {i} }}{e^{a\alpha \mathrm {i} }-\eta e^{-a\alpha \mathrm {i} }}}-{\frac {e^{(\mu -a)\alpha \mathrm {i} }-e^{(a-\mu )\alpha \mathrm {i} }}{e^{-a\alpha \mathrm {i} }-\eta e^{a\alpha \mathrm {i} }}}\right]\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha$

$={\frac {1-\eta }{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}2\sin \alpha x{\frac {\sin(\mu x)+\sin(\mu -2a)\alpha }{1-2\eta \cos(2a\alpha )+\eta ^{2}}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha .$

Or, $1-\eta$ étant infiniment petit, le rapport

${\frac {1-\eta }{1-2\eta \cos(2a\alpha )+\eta ^{2}}}$

n’aura de valeurs sensibles que pour des valeurs de $a\alpha$ équivalentes à des multiples de la circonférence. On peut donc, dans l’équation (26), remplacer $\sin(\mu -2a)\alpha$ par $\sin \mu \alpha ,$ et réduire cette équation à

(27)

$f_{0}(x)={\frac {1-\eta }{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}2{\frac {\sin \alpha x.\sin \alpha \mu }{1-2\eta \cos(2a\alpha )+\eta ^{2}}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha$

$={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{a}2\sin \alpha x.\sin \alpha \mu {\frac {1-\eta }{(1-\eta \cos 2a\alpha )^{2}+(\eta \sin 2a\alpha )^{2}}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha .$