Si l’on suppose, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {f} (x)=\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)={\frac {e^{{\frac {\pi x}{a}}\mathrm {i} }-e^{-{\frac {\pi x}{a}}\mathrm {i} }}{2\mathrm {i} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfade7bb9b07a8f46ac57e22ea3e42b7e5c311eb)
on trouvera, comme on devait s’y attendre,
![{\displaystyle f_{0}(x)=\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b145f893edaac4188c01334f06c7672a3699a2a)
Au lieu d’employer la formule (15), on pourrait recourir aux considérations suivantes.
En vertu du théorème de M. Fourier, les intégrales
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha ,\quad -{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{a}^{2a}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }\mathrm {f} (2a-\mu ).d\mu \,d\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c96a6fe9f0cdcec44b1eaf00970f0a6d7d0f7d)
etc.
sont respectivement égales aux fonctions
![{\displaystyle \mathrm {f} (x),\qquad -\mathrm {f} (2a-x),\qquad {\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fc4e43370e371f2752842e309560a1c22ad003)
entre les valeurs de
qui correspondent aux limites de la variable
et toujours nulles hors de ces limites. Par suite, la somme
(21)
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est équivalente à
(22)
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ou, ce qui revient au même, à
(23)
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