Si l’on suppose, par exemple,
on trouvera, comme on devait s’y attendre,
Au lieu d’employer la formule (15), on pourrait recourir aux considérations suivantes.
En vertu du théorème de M. Fourier, les intégrales
etc.
sont respectivement égales aux fonctions
entre les valeurs de 
qui correspondent aux limites de la variable 
et toujours nulles hors de ces limites. Par suite, la somme
| (21)
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est équivalente à
| (22)
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![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha -\int _{-\infty }^{\infty }\int _{a}^{2a}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }\mathrm {f} (2a-\mu )d\mu \,d\alpha +{\text{etc.}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23132d37089641e38437bf942d1eda75aef92646)
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ou, ce qui revient au même, à
| (23)
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![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }\left[1+\eta e^{-2a\alpha \mathrm {i} }+{\text{etc.}}\right]\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha \\-&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\alpha (x+\mu )\mathrm {i} }\left[e^{-2a\alpha \mathrm {i} }+\eta e^{-4a\alpha \mathrm {i} }\ldots \right]\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha \\=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}{\frac {e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }-e^{\alpha (x-2a+\mu )\mathrm {i} }}{1-\eta e^{-2a\alpha \mathrm {i} }}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha \\=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}{\frac {e^{\alpha (x-\mu +a)\mathrm {i} }-e^{\alpha (x-a+\mu )\mathrm {i} }}{e^{a\alpha \mathrm {i} }-\eta e^{-a\alpha \mathrm {i} }}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \,d\alpha ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba4c40b23801f63cd44aa843f4f0b4ac22c6049)
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