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les deux équations

$\operatorname {f} (x)=0,\qquad \operatorname {F} (x)=0,$

et constamment nulle hors de ces limites.

Solution. Il suffira de prendre

(33)

$\varphi (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{1}e^{\alpha \left[m\operatorname {F} (x)+(1-m)\operatorname {f} (x)\right]}f(\mathrm {M} ).{\sqrt {\left[\operatorname {F} (x)-\operatorname {f} (x)\right]^{2}}}.dm\,da,$

$\mathrm {M}$ étant une fonction de $m,$ déterminée par l’équation

(34)

$m\operatorname {F} (\mathrm {M} )+(1-m)\operatorname {f} (\mathrm {M} )=0.$

Si l’on pose, dans l’équation (33),

$\operatorname {f} (x)=x-a,\qquad \operatorname {F} (x)=x-b,$

on retrouvera la formule (32).

Troisième problème. Trouver une fonction $\varphi (x,y)$ qui soit constamment égale à $\operatorname {f} (x,y)$ entre les limites

$\left\{{\begin{aligned}y&=\,\operatorname {f} (x)\\y&=\operatorname {F} (x)\end{aligned}}\right\},\qquad \left\{{\begin{aligned}x&=a\\x&=b\end{aligned}}\right\},$

et constamment nulle hors de ces limites.

Solution. Il suffira de prendre

(35)

$\varphi (x,y)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\iiiint e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }e^{\beta (y-\nu )\mathrm {i} }f(\mu ,\nu )d\mu \,d\nu \,d\alpha \,d\beta$

$\left\{{\begin{alignedat}{4}\nu =&\operatorname {f} (\mu ),\qquad &\mu =&a,\qquad &\alpha =&-\infty ,\qquad &\beta =&-\infty \\\nu =&\operatorname {F} (\mu ),&\mu =&b,&\alpha =&\quad \ \infty ,&\beta =&+\infty \end{alignedat}}\right\}$

Cette formule se démontre avec la même facilité que celle de M. Fourier dans le cas de plusieurs variables.

Quatrième Problème. Trouver une fonction $\varphi (x,y)$ qui soit constamment égale à $f(x,y)$ entre les limites déterminées par les équations