(44)
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De plus, les conditions prescrites donneront
(45)
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Donc, par suite,
(46)
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et
(47)
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Faisons maintenant pour abréger
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha )=e^{a\alpha }-e^{-a\alpha }=-\operatorname {F} (-\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f2407da342c6bda8b784607772def061c08d59)
On aura, en vertu de l’équation (47),
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha )\left[\left(e^{\theta mx}-e^{-\theta mx}\right)\varphi (t)\right]=\left[\operatorname {F} (\theta m)e^{\theta mx}-\operatorname {F} (-\theta m)e^{-\theta mx}\right]\varphi (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2389c0db02eec66ba0fc54b004d3b50b5ce3174d)
![{\displaystyle =\left[e^{\theta mx}+e^{-\theta mx}\right]\operatorname {F} (\theta m)\varphi (t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2139e7408ad6214985d7320a4dc59569da422b3)
et, par suite, on tirera de la formule (46)
(48)
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Cette dernière, devant être satisfaite, quel que soit
on en conclura
(49)
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ou
![{\displaystyle \left(e^{a\alpha }-e^{-a\alpha }\right)f(x)=0,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8244bfebfa50fdce8ec611ada40e7ff1b037e16e)
ou encore
(50)
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