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(44)

${\begin{aligned}z=&{\frac {1}{2}}\left(e^{\frac {\alpha t}{m}}+e^{-{\frac {\alpha t}{m}}}\right)f(x)\\=&e^{\theta mx}\varphi (t)+e^{-\theta mx}\chi (t).\end{aligned}}$

De plus, les conditions prescrites donneront

(45)

$\left\{{\begin{aligned}&\varphi (t)+\chi (t)=0,\\&e^{\theta ma}\varphi (t)+e^{-\theta ma}\chi (t)=0.\end{aligned}}\right.$

Donc, par suite,

(46)

$\left\{{\begin{aligned}z=&{\frac {1}{2}}\left(e^{\frac {\alpha t}{m}}+e^{-{\frac {\alpha t}{m}}}\right)f(x)\\=&\left(e^{\theta mx}-e^{-\theta mx}\right)\varphi (t),\end{aligned}}\right.$

et

(47)

$\left(e^{\theta ma}-e^{-\theta ma}\right)\varphi (t)=0.$

Faisons maintenant pour abréger

$\operatorname {F} (\alpha )=e^{a\alpha }-e^{-a\alpha }=-\operatorname {F} (-\alpha ).$

On aura, en vertu de l’équation (47),

$\operatorname {F} (\alpha )\left[\left(e^{\theta mx}-e^{-\theta mx}\right)\varphi (t)\right]=\left[\operatorname {F} (\theta m)e^{\theta mx}-\operatorname {F} (-\theta m)e^{-\theta mx}\right]\varphi (t)$

$=\left[e^{\theta mx}+e^{-\theta mx}\right]\operatorname {F} (\theta m)\varphi (t)=0,$

et, par suite, on tirera de la formule (46)

(48)

$0={\frac {1}{2}}\left(e^{\frac {\alpha t}{m}}+e^{-{\frac {\alpha t}{m}}}\right)\operatorname {F} (\alpha )f(x).$

Cette dernière, devant être satisfaite, quel que soit $t,$ on en conclura

(49)

$\operatorname {F} (\alpha )f(x)=0,$

ou

$\left(e^{a\alpha }-e^{-a\alpha }\right)f(x)=0,,$

ou encore

(50)

$f(x+a)=f(x-a).$