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On satisfait à la première des équations (54) en prenant

(55)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi (t)=&\quad \ (\mathrm {A} -\Theta )e^{-a\Theta }\psi (t),\\\chi (t)=&-(\mathrm {A} -\Theta )e^{a\Theta }\ \ \psi (t)\,;\end{aligned}}\right.$

alors la seconde se réduit à

(56)

$\operatorname {F} (\Theta )\psi (t)=0,$

la fonction $\operatorname {F} (\alpha )$ étant déterminée par l’équation

(57)

$\operatorname {F} (\alpha )=(\mathrm {B} +\alpha )(\mathrm {A} -\alpha )e^{(b-a)\alpha }-(\mathrm {B} -\alpha )(\mathrm {A} +\alpha )e^{(a-b)\alpha }.$

De plus, la valeur de $u$ devient

(58)

${\begin{aligned}u=&e^{\left(m^{2}\alpha ^{2}-r\right)t}f(x)\\=&\left[(\mathrm {A} -\Theta )e^{(x-a)\Theta }-(\mathrm {A} +\Theta )e^{(a-x)\Theta }\right]\psi (t)\\=&\left[\mathrm {A} -\alpha \right]\left[\left(e^{(x-a)\Theta }-e^{(a-x)\Theta }\right)\psi (t)\right].\end{aligned}}$

On satisfait à cette dernière formule en posant

(59)

$\left\{{\begin{aligned}\left(e^{(x-a)\Theta }-e^{(a-x)\Theta }\right)\psi (t)=&e^{\left(m^{2}\alpha ^{2}-r\right)t}\varpi (x),\\f(x)=&(\mathrm {A} -\alpha )\varpi (x).\end{aligned}}\right.$

Comme on a d’ailleurs

${\begin{aligned}&\operatorname {F} (\alpha )\left[\left(e^{(x-a)\Theta }-e^{(a-x)\Theta }\right)\psi (t)\right]\\=&\left[e^{(x-a)\Theta }\operatorname {F} (\Theta )-e^{(a-x)\Theta }\operatorname {F} (-\Theta )\right]\psi (t)\\=&\left[e^{(x-a)\Theta }+e^{(a-x)\Theta }\right]\operatorname {F} (\Theta )\psi (t)=0,\end{aligned}}$

on tirera, de la première des équations (59),

$0=e^{\left(m^{2}\alpha ^{2}-r\right)t}\operatorname {F} (\alpha )\varpi (x).$

Cette dernière sera satisfaite, quel que soit $t,$ si l’on pose

(60)

$\operatorname {F} (\alpha )\varpi (x)=0.$

De plus, on tirera de la première des équations (59),

$e^{\left(m^{2}\alpha ^{2}-r\right)t}\varpi (x)=\operatorname {f} (t,x-a)-\operatorname {f} (t,a-x),$

$\operatorname {f} (t,x-a)$ désignant la fonction $e^{(x-a)\Theta }\psi (t)\,;$ et par suite on trouvera, en posant $t=0,$