![{\displaystyle \varpi (x)=\operatorname {f} (0,x-a)-\operatorname {f} (0,a-x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbce3ae30ada256ac18ec514619fe9cf3d4d0413)
Donc
(61)
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Les équations
(62)
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suffiront pour prolonger la fonction
au delà des limites entre lesquelles sa valeur est connue.
Il est bon de remarquer que l’on tire des équations (62)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi (x+a)=&-\varpi (a-x)\qquad {\text{et de plus}}\\f(x+a)=&\mathrm {A} \varpi (x+a)-\varpi '(x+a)\\=&(\mathrm {A} -\alpha )\varpi (x+a),\\f(a-x)=&\mathrm {A} \varpi (a-x)-\varpi '(a-x)\\=&(\mathrm {A} +\alpha )\varpi (a-x)\\=&-(\mathrm {A} +\alpha )\varpi (x+a),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ccc42646d851a2030dbaa2a2c3edd3649093bc)
et par suite
(63)
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ou
(64)
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On trouverait de même
(65)
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ou
(66)
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Si l’on élimine
entre les équations (64) et (66) on en tirera
![{\displaystyle \left[(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{(a-b)\alpha }-(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{(b-a)\alpha }\right]f(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6730819e9d015f5bb0546da657f08c6cd398dbc)