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ou

(67)

$\operatorname {F} (\alpha )f(x)=0,$

ce que l’on pouvait également conclure des deux dernières des formules (62).

Les équations (64) et (66) dont l’une peut être remplacée par la formule (67), suffisent pour prolonger la fonction $f(x).$

Afin de montrer comment on peut y parvenir, faisons pour abréger $a=0,$ et remplaçons en même temps $b$ par $a\,;$ les équations (64) et (67) donneront

(68)

$\left\{{\begin{aligned}&(\mathrm {A} +\alpha )f(x)+(\mathrm {A} -\alpha )f(-x)=0,\\&\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }\right]f(x)=0.\end{aligned}}\right.$

On en tirera

(69)

$f(-x)=-\mathrm {\frac {A+\alpha }{A-\alpha }} f(x),$

et

$e^{2a\alpha }f(x)=\mathrm {\frac {(A+\alpha )(B-\alpha )}{(A-\alpha )(B+\alpha )}} f(x),$

ou

(70)

$f(x+2a)=\mathrm {\frac {(A+\alpha )(B-\alpha )}{(A-\alpha )(B+\alpha )}} f(x),$

et par suite

(71)

${\begin{aligned}f(2a-x)=&-\mathrm {\frac {A+\alpha }{A-\alpha }} f(x-2a)\\=&-\mathrm {\frac {B+\alpha }{B-\alpha }} f(x).\end{aligned}}$

On aura donc

(72)

$\left\{{\begin{aligned}f(x)=&-\mathrm {\frac {B-\alpha }{B+\alpha }} f(2a-x),\qquad {\text{et}}\\f(x)=&\mathrm {\frac {A+\alpha }{A-\alpha }} \mathrm {\frac {B-\alpha }{B+\alpha }} f(x-2a).\end{aligned}}\right.$