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par induction, attendu que, suivant la méthode de M. Brisson, l’on a plusieurs fois considéré la lettre $\alpha$ comme indiquant une différentiation relative à $x.$ Mais, pour rendre les calculs rigoureux, il suffit de revenir aux formules et aux notations du paragraphe 2^e. En effet, en employant ces notations, l’on aura généralement

(94)

$\varphi (\alpha )f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (u\mathrm {i} )f(\upsilon )e^{u(x-\upsilon )\mathrm {i} }dv\,du,$

et par suite, si l’on pose

(95)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\varpi (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\mu )d\mu \,d\lambda ,$

on trouvera non-seulement

(96)

$f(\upsilon )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\varpi (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (\upsilon -\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\mu )d\mu \,d\lambda ,$

et

(97)

$e^{\lambda x\mathrm {i} }\varphi (\lambda \mathrm {i} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (u\mathrm {i} )e^{\upsilon (\lambda -u)\mathrm {i} }e^{ux\mathrm {i} }d\upsilon \,du,$

mais encore, en vertu des formules (96) et (97),

(98)

$\varphi (\alpha )f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\varphi (\lambda \mathrm {i} )\varpi (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\mu )d\mu \,d\lambda .$

Ainsi l’équation (95) entraîne l’équation (98). Il est bon de remarquer en passant que la fonction $f(x),$ déterminée par la formule (95), s’évanouit hors des limites $x=0,$ $x=a,$ et qu'il en est de même du second membre de la formule (98). Ajoutons que, des formules (95) et (98) réunies, l’on conclut immédiatement

(99)

$\left\{{\begin{aligned}&\varphi (\alpha )\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\varpi (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\mu )d\mu \,d\lambda \\&\quad =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\varphi (\lambda \mathrm {i} )\varpi (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\mu )d\mu \,d\lambda .\end{aligned}}\right.$