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une fonction qui soit considérée comme toujours nulle, hors des limites $x=0,$ $x=a,$ et toujours connue entre ces limites.

En remettant pour $\varphi (\alpha )$ sa valeur dans $f(x),$ on trouvera

(104)

$f(x)=$

${\frac {2\varepsilon (\mathrm {A} -\alpha )\left[(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }{\mathfrak {f}}(x)-(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }{\mathfrak {f}}(-x)\right]}{\varepsilon ^{2}-\left[(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }-(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }\right]^{2}}},$

$\varepsilon$ désignant un nombre infiniment petit. Cette formule, jointe à la suivante

(105)

$\psi (\alpha )f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\psi (\lambda \mathrm {i} )f(\mu )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }d\mu \,d\lambda ,$

dans laquelle $\psi (\alpha )$ désigne une fonction quelconque de $\alpha ,$ suffit pour déterminer complétement la valeur de $f(x)$ et de $\psi (\alpha )f(x).$ On aura par suite, en vertu de la formule (53),

(106)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad \qquad \qquad \qquad u=\\&{\frac {2\varepsilon (\mathrm {A} -\alpha )e^{t(m^{2}\alpha ^{2}-r)}\left[(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }{\mathfrak {f}}(x)-(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }{\mathfrak {f}}(-x)\right]}{\varepsilon ^{2}-\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }\right]^{2}}}\end{aligned}}\right.$

On peut encore présenter l’équation (104) sous la forme

(107)

$f(x)=(\mathrm {A} -\alpha )\varpi (x),$

la valeur de $\varpi (x)$ étant

(108)

$\varpi (x)={\frac {2\varepsilon \left[(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }{\mathfrak {f}}(x)-(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }{\mathfrak {f}}(-x)\right]}{\varepsilon ^{2}-\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }\right]^{2}}}.$

Cette dernière valeur de $\varpi (x)$ vérifie deux équations semblables aux formules (62), savoir

(109)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad \qquad \qquad \qquad \varpi (x)=-\varpi (-x),\qquad {\text{et}}\\&\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }\right]\varpi (x)=0,\end{aligned}}\right.$

et, de plus, elle satisfait, pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre les limites $x=0,$ $x=a,$ à la formule