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$x=a,$ et qui deviendra constamment nulle hors de ces limites. Cela posé, on tirera des équations (126)

${\begin{aligned}f(x)=&e^{-2a\alpha }f(x)\\=&e^{2a\alpha }f(x),\end{aligned}}$

et par suite en nommant $\iota ,\,\eta ,$ deux nombres inférieurs à la limite $1,$ mais dont le dernier $\eta$ diffère infiniment peu de l’unité,

${\begin{alignedat}{4}&f(x)&&=\eta ^{n}e^{-2an\alpha }f(x),&{\text{pour }}x=&(2n+\iota )a,\quad &n={\text{ou}}>0,\\&f(x)&&=\eta ^{n}e^{2an\alpha }\ \ f(x),&-x=&(2n-\iota )a,&n={\text{ou}}>1,\\-f(x)=&f(-x)&&=\eta ^{n}e^{2an\alpha }\ \ f(-x),&-x=&(2n+\iota )a,&n={\text{ou}}>0,\\-f(x)=&f(-x)&&=\eta ^{n}e^{-2an\alpha }f(-x),&x=&(2n-\iota )a,&n={\text{ou}}>1.\end{alignedat}}$

En remplaçant dans les seconds membres des équations précédentes $f(x)$ par ${\mathfrak {f}}(x),$ $f(-x)$ par ${\mathfrak {f}}(-x),$ puis réunissant toutes les valeurs particulières de $f(x)$ qui en résulteront, on obtiendra la valeur générale de $f(x),$ savoir :

${\begin{aligned}f(x)&=\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{-2an\alpha }{\mathfrak {f}}(x)-\sideset {}{_{1}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{-2an\alpha }{\mathfrak {f}}(-x)\\&+\sideset {}{_{1}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{2an\alpha }\ \ \ {\mathfrak {f}}(x)-\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{2an\alpha }\ \;{\mathfrak {f}}(-x),\end{aligned}}$

ou, ce qui revient au même,

${\begin{aligned}f(x)&=\left(\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{-2an\alpha }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{2an\alpha }-1\right)\left[{\mathfrak {f}}(x)-{\mathfrak {f}}(-x)\right]\\&={\frac {1-\eta ^{2}}{1-\eta \left(e^{2a\alpha }+e^{-2a\alpha }\right)+\eta ^{2}}}\left[{\mathfrak {f}}(x)-{\mathfrak {f}}(-x)\right],\end{aligned}}$

ou à très-peu près

(127)

$f(x)={\frac {2(1-\eta )}{1-\eta \left(e^{2a\alpha }+e^{-2a\alpha }\right)+\eta ^{2}}}\left[{\mathfrak {f}}(x)-{\mathfrak {f}}(-x)\right].$

On a d’ailleurs

(128)

${\mathfrak {f}}(x)-{\mathfrak {f}}(-x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\left[e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }-e^{\lambda (x+\mu )\mathrm {i} }\right]{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,d\lambda ,$

puis, en désignant par $\rho$ une racine de l’équation