Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/297

Enfin, comme on tire de l’équation (56)

${\frac {1}{2}}\left[e^{t{\sqrt {r^{2}\alpha ^{2}+s^{2}\beta ^{2}}}}-e^{-t{\sqrt {r^{2}\alpha ^{2}+s^{2}\beta ^{2}}}}\right]f(x,y)=\varpi (x,y,t)-\varpi (-x,y,t),$

on en conclura, en posant $t=0,$

$f(x,y)=\varpi (x,y,0)-\varpi (-x,y,0),$

et par suite

(61)

$f(-x,y)=-f(x,y).$

On trouvera de même

(62)

$f(x,-y)=-f(x,-y).$

Les équations (59), (60), (61) et (62) suffisent pour prolonger indéfiniment la fonction $f(x,y)$ hors des limites $x=0,$ $x=a,$ $y=0,$ $y=b.$ On y parviendra, en suivant la méthode employée dans le second problème. En effet, si l’on désigne par $m,\,n$ deux nombres entiers quelconques, on tirera des formules (59), (60), (61) et (62)

(63)

$\left\{{\begin{aligned}f(x,y)\quad \ \ &=\ \ \ \eta ^{m}\eta ^{'m}e^{\pm 2ma\alpha }e^{\pm 2nb\beta }f(x,y),\\f(-x,y)\ \ \ &=-\eta ^{m}\eta ^{'m}e^{\mp 2ma\alpha }e^{\pm 2nb\beta }f(-x,y),\\f(x,-y)\ \ \ &=-\eta ^{m}\eta ^{'m}e^{\pm 2ma\alpha }e^{\mp 2nb\beta }f(x,-y),\\f(-x,-y)&=\ \ \ \eta ^{m}\eta ^{'m}e^{\mp 2ma\alpha }e^{\mp 2nb\beta }f(-x,-y),\\\end{aligned}}\right.$

$\eta =1-\varepsilon$ et $\eta '=1-\varepsilon '$ désignant deux nombres très-rapprochés de l’unité. On aura par suite

(64)

$f(x,y)=$

$\left(\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{m}e^{2ma\alpha }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{m}e^{-2ma\alpha }-1\right)\left(\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{'n}e^{2nb\beta }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{'n}e^{-2nb\beta }-1\right)$

$\times \left\{{\begin{aligned}&{\mathfrak {f}}(x,y)-{\mathfrak {f}}(-x,y)\\&-{\mathfrak {f}}(x,-y)+{\mathfrak {f}}(-x,-y)\end{aligned}}\right\}.$

De plus, si, dans la formule qu'on obtient en égalant l’un à l’autre les derniers membres des équations (39) et (43),