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(6)

$Z=h(z-z')(z-z'')\ldots \left(z-z^{(n)}\right),$

en sorte que la fonction $z$ sera le produit de la constante $h$ par les facteurs linéaires

$z-z',\qquad z-z'',\ldots \qquad z-z^{(n)}.$

Il est bon d’observer que, dans le cas où l’équation (5) se vérifie le terme $hz^{n}$ de la fonction $z$ équivaut à la somme de tous les autres, prise en signe contraire. Donc alors le module $hr^{n}$ de ce terme doit être égal ou inférieur à la somme des modules de tous les autres ; et si l’on nomme $\mathbf {b,c,\ldots g,h} ,$ les modules des coefficients $b,c,\ldots g,h,$ on doit avoir :

(7)

$\mathbf {a} +\mathbf {b} r+\mathbf {c} r^{2}+\ldots +\mathbf {g} r^{n-1}-\mathbf {h} r^{n}=\quad {\text{ou}}\quad >0.$

Or, cette dernière condition peut s’écrire comme il suit :

(8)

${\frac {\mathbf {a} }{r^{n}}}+{\frac {\mathbf {b} }{r^{n-1}}}+{\frac {\mathbf {c} }{r^{n-2}}}+\ldots +{\frac {\mathbf {g} }{r}}-\mathbf {h} =\quad {\text{ou}}\quad >0.$

D'ailleurs, le premier membre de la formule (8) varie, en décroissant, par degrés insensibles, et passe de la limite $\infty$ à la limite $-\mathbf {h} ,$ tandis que $r$ croît et varie par degrés insensibles en passant de zéro à l’infini. Donc ce premier membre s’évanouira pour une certaine valeur de $r$ qui vérifiera l’équation

(9)

$\mathbf {a} +\mathbf {b} r+\mathbf {c} r^{2}+\ldots +\mathbf {g} r^{n-1}-\mathbf {h} r^{n}=0\,;$

et si l’on nomme $\mathrm {l}$ la racine positive unique de l’équation (9), la condition (7) ou (8) donnera $r<\mathrm {l} .$ On peut donc énoncer la proposition suivante.

Troisième théorème. Les mêmes choses étant admises que dans le théorème 2, chacune des racines de l’équation proposée offrira un module inférieur à la racine positive unique de l’équation auxiliaire qu'on obtient lorsqu'on remplace dans la proposée chaque terme par son module, en affectant du signe $-$ le terme qui renferme la plus haute puissance de l’inconnue, et tous les autres du signe $+.$