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ou, ce qui revient au même, avec la quantité géométrique $\rho _{\varpi }$ déterminée par la formule

(4)

$\rho _{\varpi }=-{\frac {a}{h}}.$

On pourra donc alors prendre ordinairement la quantité $\rho _{\varpi }$ pour valeur approchée de l’une des racines de l’équation (1), et c’est en cela que consiste la méthode d’approximation linéaire ou newtonienne. Toutefois, la valeur $\rho _{\varpi }$ attribuée à la variable $z$ ne pourra être admise comme valeur approchée d’une racine qu'autant qu'elle fournira un module $R$ de $Z$ inférieur au module de $a.$

Si, en posant

(5)

$z=\rho _{\varpi }$

on obtient un module de $Z$ supérieur au module de $a,$ on pourra substituer à la valeur précédente de $z$ une autre valeur de la forme

(6)

$z=r_{\varpi },$

$r$ étant inférieur à $\rho$ et convenablement choisi. Effectivemeut soient

$\mathbf {a,b,c,\ldots \qquad g,h}$

les modules des coefficients

$a,b,c,\ldots \qquad g,h.$

Le module de

$a+bz,$

qui se réduisait à

$\mathbf {a-b} _{\rho }=0$

lorsqu'on prenait $z=\rho _{\varpi },$ deviendra

(7)

$\mathbf {a-b} r>0,$

lorsqu'on posera $z=r_{\varpi }\,;$ alors aussi le module de la somme

$cz^{2}+\ldots +gz^{n-1}+hz^{n}$

sera, en vertu du deuxième théorème du § II, égal ou inférieur à la quantité positive