ayant égard aux formules
![{\displaystyle \cos p=1-{\frac {p^{2}}{1.2}}+{\frac {p^{4}}{1.2.3.4}}-\ldots ,\qquad \sin p=p-{\frac {p^{3}}{1.2.3}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076492c2520ac349ab9f4d6aedf237e6a1da53dd)
on trouvera
![{\displaystyle e^{\mathrm {i} p}=\cos p+\mathrm {i} \sin p=1_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d503a5929bbf2c88dd699b94fed3d670cc669e77)
On aura donc par suite
(4)
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et les formules (5) de la note 2e donneront
(5)
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Si dans ces dernières formules on écrit
au lieu de
on obtiendra les suivantes :
(6)
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et pour que
se trouvent définis dans tous les cas possibles, il suffira d’étendre les équations (6) au cas même où la lettre
désigne une quantité géométrique.
quatrième note. Fonctions continues de quantités géométriques.
Différentielles de ces quantités et de ces fonctions.
Soient
![{\displaystyle z=r_{p}\qquad {\text{et}}\qquad Z=R_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4d32a578b0b4b5859006a0806abe7e83c47829)
deux quantités algébriques, mesurées dans un plan donné, à partir du pôle
, ou plus généralement à partir de deux points fixes pris pour origines, jusqu'à deux points mobiles
sera une fonction de
si le mouvement du point
détermine le mouvement du point
et cette fonction sera continue, si à un mouvement infiniment petit du point
correspond toujours un mouvement infiniment petit du point
Alors à un accroissement infiniment petit
de la variable
correspondra toujours un accroissement infiniment petit
de la fonction elle-même. Si cette condition était remplie seulement entre certaines limites de la variable
et pour certaines positions du point mobile
par exemple, quand ce point serait compris entre deux lignes données, la fonction
ne serait continue qu'entre ces limites.