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et si d’ailleurs on assujettit les constantes

$u,\quad s,\quad A_{0},\quad A_{1},\ldots \quad A_{-1},\ldots$

à vérifier les équations

(9)

$s=ku,$

(10)

$\left\{{\begin{aligned}&(k-k_{0})A_{0}=k_{-1}\left(1+{\frac {\alpha \mathrm {i} }{u}}\right)A_{1}+\ldots +k_{1}\left(1-{\frac {\alpha \mathrm {i} }{u}}\right)A_{-1}+\ldots ,\\&\left[k-k_{0}\left(1+{\frac {\alpha \mathrm {i} }{u}}\right)\right]A_{1}=k_{-1}\left(1+{\frac {2\alpha \mathrm {i} }{u}}\right)A_{2}+\ldots +k_{1}A_{0}+\ldots ,\\&{\text{etc}}\ldots \\&\left[k-k_{0}\left(1-{\frac {\alpha \mathrm {i} }{u}}\right)\right]A_{-1}=k_{-1}A_{0}+\ldots +k_{1}\left(1-{\frac {2\alpha \mathrm {i} }{u}}\right)A_{-2}+\ldots ,\\&{\text{etc}}\ldots .\end{aligned}}\right.$

Alors aussi, en posant pour abréger

(11)

${\begin{aligned}A=A_{0}&+A_{1}e^{\alpha x\mathrm {i} }+A_{2}e^{2\alpha x\mathrm {i} }+\ldots \\&+A_{-1}e^{-\alpha x\mathrm {i} }+A_{-2}e^{-2\alpha x\mathrm {i} }+\ldots ,\end{aligned}}$

on tirera des formules (6) et (8)

(12)

${\text{ȣ}}=Ae^{ux+st}.$

Cette dernière est semblable à la formule (4), mais avec cette différence, que le coefficient $A,$ constant dans la première, devient périodique dans la seconde. Ajoutons que la valeur de la constante $s,$ déterminée dans l’équation (4) par la formule (5), se déduira, dans l’équation (12), de la formule (9), dans laquelle on devra substituer la valeur de $k$ tirée des équations (10). Remarquons enfin que la formule (12) est ici tirée d’une méthode qui suppose la série (11) convergente, et par suite la valeur de $K$ généralement peu différente de sa valeur moyenne $k_{0}.$ Cette supposition étant admise, le calcul des valeurs de

$k,\quad A_{0},\quad A_{1},\quad A_{2}\ldots$

déterminées par les formules (10), pourra s’exécuter comme il suit.