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(14)

$\mathrm {K} =\mathbf {S} m\left(y^{2}+z^{2}\right)$

la sommation qu'indique le signe $\mathbf {S}$ s’étendant à tous les points du système. Supposons maintenant que le moment d’inertie $\mathrm {K}$ offre une valeur indépendante de la direction de l’axe $\mathrm {OA} .$ Alors, la somme

$\mathbf {S} m\left(y^{2}+z^{2}\right)$

devra être une fonction isotrope des coordonnées des divers points. En d’autres termes, cette fonction ne devra pas être altérée quand on fera tourner les axes des $x,y,z$ d’une manière quelconque autour de l’origine. Donc, elle ne devra pas être altérée quand on fera coïncider l’axe $\mathrm {OA} ,$ non plus avec l’axe des $x,$ mais avec l’axe des $y,$ ou avec l’axe des $z\,;$ et, dans l’hypothèse admise, l’équation (14) entraînera les deux suivantes :

(15)

$\mathrm {K} =\mathbf {S} m\left(z^{2}+x^{2}\right)$

(16)

$\mathrm {K} =\mathbf {S} m\left(x^{2}+y^{2}\right).$

Par suite aussi, $\mathrm {K}$ sera équivalent à la moyenne arithmétique entre les sommes que renferment les équations (14), (15), (16), et l’on aura

(17)

$\mathrm {K} ={\frac {2}{3}}\mathbf {S} m\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right),$

ou, ce qui revient au même,

(18)

$\mathrm {K} ={\frac {2}{3}}\mathbf {S} mr^{2},$

$r$ étant la distance du point $(x,y,z)$ à l’origine des coordonnées. Or, en vertu de la formule (18), $\mathrm {K}$ se trouve réduit à une fonction des distances qui séparent les points matériels donnés de l’origine, ce qui s’accorde avec le 5^e théorème.

Remarquons encore que les formules (14), (15), (16) entraînent toujours avec elles la formule (18). Donc, pour que