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et les expressions symboliques

$\mathrm {E,\quad F,\quad K}$

étant des fonctions entières du trinôme

$\operatorname {D} _{x}^{2}+\operatorname {D} _{y}^{2}+\operatorname {D} _{z}^{2}.$

Enfin si dans les formules (6), (7) on remplace les lettres symboliques $\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z}$ par les lettres $u,v,w,$ et si, d’ailleurs, on pose pour abréger

(8)

$h={\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}},$

on trouvera non-seulement

(9)

$\upsilon =u\xi +v\eta +w\zeta ,$

mais encore

(10)

$\left\{{\begin{alignedat}{6}\operatorname {D} _{t}^{2}\xi &=\mathrm {E} \xi &&+\mathrm {F} u(u\xi &&+v\eta &&+w\zeta )&&+\mathrm {K} (w\eta &&-v\zeta ),\\\operatorname {D} _{t}^{2}\eta &=\mathrm {E} \eta &&+\mathrm {F} v(u\xi &&+v\eta &&+w\zeta )&&+\mathrm {K} (u\zeta &&-w\xi ),\\\operatorname {D} _{t}^{2}\zeta &=\mathrm {E} \zeta &&+\mathrm {F} w(u\xi &&+v\eta &&+w\zeta )&&+\mathrm {K} (v\xi &&-u\eta ),\end{alignedat}}\right.$

$\mathrm {E,F,K}$ étant trois fonctions entières de $h.$ Donc, lorsque les équations (I) seront isotropes, mais à coefficients constants, elles se confondront avec les équations (10), en sorte que les seconds membres des unes et des autres devront être identiquement égaux. Donc alors, les fonctions de $u,v,w,$ qui représenteront les coefficients symboliques des déplacements $\xi ,\eta ,\zeta ,$ dans les seconds membres des équations (1), devront se confondre avec les coefficients symboliques de ces mêmes déplacements dans les seconds membres des équations (10); et, puisque le coefficient symbolique de $\xi$ dans la seconde des équations (1) ne diffère pas du coefficient symbolique de $\eta$ dans la première, les coefficients de $\xi$ dans la seconde des équations (10) et de $\eta$ dans la première devront encore être