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hauteurs relatives à chacun des six jours, et que l’on représente la loi de ces sommes par

$\zeta \,t^{2}+\zeta 't+\zeta '',$

$t$ étant le temps écoulé depuis la haute marée du soir du jour qui précède la syzigie, l’intervalle de deux marées consécutives du soir étant pris pour unité ; on aura les six équations de condition suivantes,

${\begin{alignedat}{3}&&&\quad \;\zeta ''&&=f;\\\zeta &+\zeta '&&+\zeta ''&&=f';\\4\zeta &+2\zeta '&&+\zeta ''&&=f'';\\9\zeta &+3\zeta '&&+\zeta ''&&=f''';\\16\zeta &+4\zeta '&&+\zeta ''&&=f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}};\\25\zeta &+5\zeta '&&+\zeta ''&&=f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.\end{alignedat}}$

Si l’on multiplie chacune de ces équations, respectivement par le coëfficient de $\zeta ,$ et que l’on fasse la somme de ces produits ; si l’on fait des sommes semblables relativement aux coefficiens de $\zeta '$ et de $\zeta '',$ ces trois sommes formeront les équations suivantes

${\begin{aligned}979.\zeta &+225.\zeta '+55.\zeta ''=f'+4f''+9f'''+16f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+25f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}};\\225.\zeta &+55.\zeta '+15.\zeta ''=f'+2f''+3f'''+4f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+5f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}};\\55.\zeta &+15.\zeta '+6.\zeta ''=f+f'+f''+f'''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.\end{aligned}}$

Ces équations donnent

$\zeta ={\frac {10.\left(f+f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-f''-f'''\right)+2(f''+f'''-f'-f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{112}}\,;$

$\zeta '={\frac {5.(f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-f)+3.(f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-f')+f'''-f''}{35}}-5\zeta \,;$