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somme des cosinus de $2mt'',$ et que la somme des cosinus de $2mt'-2\delta$ égale la somme des cosinus de $2m't''-2\delta ,$ parce que ces angles diffèrent peu de l’unité, et parce que leurs cosinus sont multipliés dans les expressions précédentes, par les très-petits facteurs $(\mathrm {A-B} ).sin.^{2}\varepsilon$ et $(\mathrm {A'-B} ).sin.^{2}.\varepsilon '.$ En supposant donc que $p$ et $q$ expriment les sommes des quarrés des cosinus des déclinaisons du soleil aux instants des syzigies équinoxiales et solsticiales, et que $p'$ et $q'$ expriment les mêmes sommes pour la lune ; la somme des quantités $sin.^{2}\varepsilon .cos.2mt'$ sera $p-q,$ et la somme des quantités $sin.^{2}.\varepsilon '.cos.(2mt'-2\delta )$ sera $p'-q'.$

On aura donc, dans les syzigies équinoxiales,

${\begin{aligned}2i\alpha =2\mathrm {A} .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.p+&2\mathrm {A} '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.p'-(\mathrm {A-B} ).(p-q).{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.\\&-(\mathrm {A'-B} ).(p'-q').{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}\,;\end{aligned}}$

et dans les syzigies solsticiales,

${\begin{aligned}2i\alpha '=2\mathrm {A} .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.q+&2\mathrm {A} '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.q'-(\mathrm {A-B} ).{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.(p-q)\\&+(\mathrm {A'-B} ).{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}(p'-q'),\end{aligned}}$

$2i\alpha '$ étant la valeur de $2i\alpha ,$ relative aux syzigies solsticiales.

Dans les quadratures, la haute marée lunaire coïncide avec la basse marée solaire ; ce qui revient à supposer ${\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}$ négatif, dans les expressions précédentes. De-là il suit que si l’ou désigne par $p_{1}$ et $q_{1}$ les déclinaisons du soleil dans les quadratures équinoxiales et solsticiales ; si l’on désigne par $p'_{1}$ et $q'_{1}$ les déclinaisons de la lune dans les mêmes quadratures ; enfin, si l’on nomme $2i\alpha ''$ et $2i\alpha '''$ ce que devient $2i\alpha$ dans