Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 3.djvu/369

un rayon quelconque de la sphère, et v l’angle dièdre, compris entre le plan de ces deux droites et le plan fixe ; appelons l’élément de la surface sphérique, qui répond à l’extrémité de ce rayon : nous aurons

$d\omega =\sin .u\,du\,dv\,;$

et l’intégrale double, d’après ses limites, s’étendra à tous les points de cette surface. Supposons encore que les constantes $u'$ et $v'$ soient les valeurs de $u$ et $v,$ qui répondent à un rayon déterminé de la sphère ; soit $\theta$ l’angle compris entre cette droite et le rayon quelconque, correspondant aux angles $u$ et $v\,;$ la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donnera

$\cos .\theta =\cos .u'\cos .u+\cos .(v'-v)\sin .u'\sin .u\,;$

et l’on aura ensuite

$\mathrm {P} =\iint f(p\cos .\theta )d\omega .$

Ainsi cette quantité $\mathrm {P}$ représente la somme de tous les éléments de la surface sphérique, multipliés chacun par une fonction donnée du cosinus de l’angle compris entre son rayon et un rayon déterminé de position.

Cela posé, si l’on désigne par $\psi$ l’angle dièdre compris entre le plan de ces deux rayons et un plan fixe, mené arbitrairement par le rayon déterminé, on pourra employer les deux angles $\psi$ et $\theta$ au lieu de $v$ et $u,$ à la détermination du rayon variable, et exprimer l’élément $d\omega$ de la surface au moyen de leurs différentielles ; on aura alors

$d\omega =\sin .\theta \,d\theta \,d\psi ,$

et, par conséquent,