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$\mathrm {P} =\iint f(p\cos .\theta )\sin .\theta \,d\theta \,d\psi .$

Pour étendre l’intégrale à la surface entière de la sphère, il faudra la prendre depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =\pi ,$ et depuis $\psi =0$ jusqu’à $\psi =2\pi \,;$ l’intégration relative à $\psi$ s’effectue immédiatement ; et en remettant pour $\mathrm {P}$ ce que cette lettre représente, nous aurons

$\iint f(g\cos .u+h\sin .u\sin .v+k\sin .u\cos .v)\sin .u\,du\,dv$

$=2\pi \int f(p\cos .\theta )\sin .\theta \,d\theta \,;\qquad$(1)

d’où il résulte que l’intégrale double que nous considérons, se réduit, quelle que soit la fonction $f,$ à une intégrale simple, et que sa valeur ne sera fonction que de la quantité $p,$ laquelle est égale à ${\sqrt {g^{2}+h^{2}+k^{2}}}.$

(2). En prenant pour la fonction $f$ une puissance quelconque $m,$ on aura

$\iint f(g\cos .u+h\sin .u\sin .v+k\sin .u\cos .v)^{m}\sin .u\,du\,dv$

$={\frac {2\pi }{(m+1)p}}\left(p^{m+1}-(-p)^{m+1}\right)\,;$

et si l’on désigne par $n$ un nombre entier positif, et qu’on fasse successivement $m=2n+1,$ $m=2n,$ il en résultera

$\left.{\begin{aligned}&\iint f(g\cos .u+h\sin .u\sin .v+k\sin .u\cos .v)^{2n+1}\sin .u\,du\,dv=0,\\&\iint f(g\cos .u+h\sin .u\sin .v+k\sin .u\cos .v)^{2n}\sin .u\,du\,dv={\frac {4\pi p^{2n}}{2n+1}}\end{aligned}}\right\}$(2)

Les éléments de la première de ces deux intégrales doubles sont deux à deux égaux et de signes contraires ; l’intégrale