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d’où l’on conclut, quelle que soit la fonction $\operatorname {F} ,$

${\begin{aligned}\iint \operatorname {F} (g\cos .u+h\sin .u\sin .v+&k\sin .u\cos .v)(h\cos .u-g\sin .u\sin .v)\sin .u\,du\,dv=0,\\\iint \operatorname {F} (g\cos .u+h\sin .u\sin .v+&k\sin .u\cos .v)(k\cos .u-g\sin .u\cos .v)\sin .u\,du\,dv=0,\\\iint \operatorname {F} (g\cos .u+h\sin .u\sin .v+&k\sin .u\cos .v)(k\sin .v-h\cos .v)\sin .^{2}u\,du\,dv=0.\end{aligned}}$

Nous ne nous arrêterons pas davantage à développer les conséquences de l’équation (1), qui sont étrangères à l’objet de ce mémoire.

(3) Proposons-nous maintenant d’intégrer l’équation

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right),\qquad$(3)

dans laquelle $a$ est une constante donnée. C’est, comme on sait, de la fonction $\varphi ,$ déterminée par cette équation, que dépendent les lois du mouvement des fluides élastiques, lorsqu’on néglige les termes de seconde dimension, par rapport aux vitesses et aux condensations de leurs molécules, et qu’on suppose la densité naturelle et la température du fluide, constantes dans toute son étendue.

Afin d’exprimer commodément son intégrale complète, en série ordonnée suivant les puissances de $t,$ nous emploierons cette notation abrégée : $q$ étant une fonction quelconque de $x,\,y,\,z,$ nous ferons

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}q}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}q}{dz^{2}}}=\delta q,\\&{\frac {d^{2}\delta q}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\delta q}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\delta q}{dz^{2}}}=\delta ^{2}q,\\&{\frac {d^{2}\delta ^{2}q}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\delta ^{2}q}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\delta ^{2}q}{dz^{2}}}=\delta ^{3}q,\end{aligned}}$

etc.;