de sorte qu’on ait généralement
De cette manière, l’intégrale complète de l’équation (3) sera évidemment
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\mathrm {U} +{\frac {a^{2}t^{2}}{1.2}}\delta \mathrm {U} +{\frac {a^{4}t^{4}}{1.2.3.4}}\delta ^{2}\mathrm {U} +{\frac {a^{6}t^{6}}{1.2.3.4.5.6}}\delta ^{3}\mathrm {U} +{\text{etc}}.\\&+t\mathrm {V} +{\frac {a^{2}t^{3}}{1.2.3}}\delta \mathrm {V} +{\frac {a^{4}t^{5}}{1.2.3.4.5}}\delta ^{2}\mathrm {V} +{\frac {a^{6}t^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}\delta ^{3}\mathrm {V} +{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d7379d7d0d636dc71267941e1863033304980d)
et
étant deux fonctions arbitraires de
Pour obtenir cette intégrale sous forme finie, il s’agit donc d’exprimer, par le moyen des intégrales définies, les sommes des deux séries qui composent la valeur de mais on peut remarquer que la première se déduit de la seconde, en différentiant celle-ci par rapport à
et en y remplaçant
par
ainsi, en faisant
![{\displaystyle \mathrm {T} =t\mathrm {V} +{\frac {a^{2}t^{3}}{1.2.3}}\delta \mathrm {V} +{\frac {a^{4}t^{5}}{1.2.3.4.5}}\delta ^{2}\mathrm {V} +{\frac {a^{6}t^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}\delta ^{3}\mathrm {V} +{\text{etc}}.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3026b277200bac979df32e473ddc669d275529c)
il nous suffira de chercher l’expression de cette quantité
en intégrales définies.
(4) D’après les analogies connues entre les puissances et les différences, on a
![{\displaystyle \delta ^{n}\mathrm {V} =\left(g^{2}+h^{2}+k^{2}\right)^{n}\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311c852ed84e261873722a6ca60a1c885354f4a7)
pourvu que, dans le développement du second membre, on regarde les puissances de
comme des signes d’opérations qui indiquent des différentielles relatives à
divisées respectivement par
c’est-à-dire que, dans ce développement, un terme quelconque, tel que
![{\displaystyle \mathrm {A} g^{i}h^{i'}k^{i''}\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9204e194f503193d5df048ab6eebf7804500da41)