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donc, en remettant pour $\alpha$ sa valeur, nous aurons

$e^{at\alpha }\mathrm {V} =f(x+\alpha t\cos .u,\,y+at\sin .u\sin .v,\,z+at\sin .u\cos .v),$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\mathrm {T} ={\frac {1}{4\pi }}\iint f(x+at\cos .u,\,&y+at\sin .u\sin .v,\\&z+at\sin .u\cos .v)t\sin .u\,du\,dv.\end{aligned}}$

En faisant de même $\mathrm {U} =\operatorname {F} (x,y,z),$ et désignant par $\mathrm {T} '$ la somme de la première série contenue dans la valeur de $\varphi ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} '={\frac {1}{4\pi \,dt}}\iint f(x+at\cos .u,\,&y+at\sin .u\sin .v,\\&z+at\sin .u\cos .v)t\sin .u\,du\,dv\,;\end{aligned}}$

donc, en comprenant le diviseur $4\pi$ dans les fonctions arbitraires $f$ et $\operatorname {F} ,$ il en résultera, pour l’intégrale complète de l’équation (3),

${\begin{aligned}\varphi =\iint f(x+at\cos .u,\,y+at\sin .u&\sin .v,\\z+&at\sin .u\cos .v)t\sin .u\,du\,dv\\+{\frac {d}{dt}}\iint \operatorname {F} (x+at\cos .u,\,y+at&\sin .u\sin .v,\\z+&at\sin .u\cos .v)t\sin .u\,du\,dv\,;\end{aligned}}$

les limites des intégrales définies étant toujours $u=0,$ $u=\pi ,$ et $v=0,$ $v=2\pi .$

Cette forme d’intégrale est aussi simple qu’on puisse le desirer, eu égard au nombre des variables de l’équation à laquelle elle répond : elle a, en outre, l’avantage que les deux fonctions arbitraires $f$ et $\operatorname {F}$ s’y déterminent immédiatement, d’après les valeurs initiales de $\varphi$ et ${\frac {d\varphi }{dt}}\,;$ car, en fai-