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dans lequel le coefficient $\mathrm {A}$ est indépendant de $g,\,h,\,k,$ devra être remplacé par

$\mathrm {A} {\frac {d^{i+i'+i''}\mathrm {V} }{dx^{i}dy^{i'}dz^{i''}}}.$

Par ce moyen, la quantité $\mathrm {T}$ deviendra

$\mathrm {T} =\left(1+{\frac {a^{2}t^{2}}{1.2}}.{\frac {p^{2}}{3}}+{\frac {a^{4}t^{4}}{1.2.3.4}}.{\frac {p^{4}}{5}}+{\frac {a^{6}t^{6}}{1.2.3.4.5.6}}.{\frac {p^{6}}{7}}+{\text{etc}}.\right)\mathrm {V} t,$

en faisant, comme plus haut, $g^{2}+h^{2}+k^{2}=p^{2}.$ Si l’on fait aussi, pour abréger,

$g\cos .u+h\sin .u\sin .v+k\sin .u\cos .v=x,$

les équations (2) deviendront SSx^21

${\begin{aligned}&\iint \alpha ^{2n+1}\sin .u\,du\,dv=0,\\&\iint \alpha ^{2n}\sin .u\,du\,dv={\frac {4\pi p^{2n}}{2n+1}}\,;\end{aligned}}$

au moyen de quoi l’on pourra écrire la valeur de $\mathrm {T}$ sous cette forme :

$\mathrm {T} ={\frac {1}{4\pi }}\iint \left(1+at\alpha +{\frac {a^{2}t^{2}\alpha ^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}t^{3}\alpha ^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}t^{4}\alpha ^{4}}{1.2.3.4}}+{\text{etc}}.\right)\mathrm {V} t\sin .u\,du\,dv,$

ou, ce qui est la même chose,

$\mathrm {T} ={\frac {1}{4\pi }}\iint e^{at\alpha }\mathrm {V} t\sin .u\,du\,dv\,;$

$e$ désignant la base des logarithmes népériens.

Or, si l’on a $\mathrm {V} =f(x,y,z),$ et qu’on représente par $x',\,y',\,z',$ trois quantités quelconques, on aura, en vertu des mêmes analogies qu’on vient de citer,

$e^{gx'}e^{hy'}e^{kz'}\mathrm {V} =f(x+x',y+y',z+z')\,;$