Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 3.djvu/384

faisant $a={\sqrt {-1}}.$ Son intégrale complète sera donc

${\begin{aligned}\varphi &=\iint f(y+x\sin .u\sin .v{\sqrt {-1}},\,z+x\sin .u\cos .v{\sqrt {-1}})x\sin .u\,du\,dv\\&+{\frac {d.}{dx}}\iint \operatorname {F} \left(y+x\sin .u\sin .v{\sqrt {-1}},\,z+x\sin .u\cos .v{\sqrt {-1}}\right)x\sin .u\,du\,dv\end{aligned}}$

mais à cause des imaginaires qui sont contenues sous les fonctions $f$ et $\operatorname {F} ,$ cette intégrale sera peu utile pour la résolution des problèmes, sur-tout lorsque, par la nature de la question, ces fonctions arbitraires devront être discontinues. Il vaudra mieux alors exprimer la valeur de p en séries infinies d’exponentielles, de sinus ou de cosinus, ainsi que je l’ai fait dans mou mémoire sur la Théorie des ondes.

L’équation (6) se présente aussi dans les recherches relatives aux attractions des sphéroïdes, pourvu toutefois que le point attiré ne fasse point partie du sphéroïde attirant ; car s’il est une des molécules de ce corps, j’ai fait voir ailleurs^[1] que cette équation devait être remplacée par celle-ci :

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=\Delta ,$

dans laquelle $\Delta$ est, en général, une fonction donnée de $x,\,y,\,z.$ On verra plus bas, dans un cas analogue (n^o  16), comment on peut toujours déterminer une valeur particulière de qui satisfasse à une équation de cette forme : au moyen de cette valeur, on fera disparaitre le second membre de cette équation, et on la ramènera à la précédente, dont nous connaissons déja l’intégrale complète ; mais nous ne

1. Bulletin de la Société philomatique, décembre 1813.