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mières variables, devait s’étendre à tous les points de l’espace, il faudra qu’il en soit de même à l’égard de l’intégrale relative à $s,\,u,\,v\,;$ ce qui exige que cette intégrale triple soit prise entre les limites que nous avons assignées.

(11) Si l’on fait $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$ et si l’on suppose que la fonction $\varphi$ ne dépende que de $r$ et $t,$ l’équation (7) se changera en celle-ci :

${\frac {d.r\varphi }{dt}}=a{\frac {d^{2}.r\varphi }{dr^{2}}}\,;\qquad$(8)

et la valeur précédente de $\varphi$ deviendra

$\varphi =\iiint e^{-s^{2}}f_{\rho }.s^{2}\sin .u\,ds\,du\,dv\,;$

en supposant qu’on ait, dans ce cas particulier, $f(x,y,z)=f_{r},$ et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}(x+2s{\sqrt {at}}\cos .u)^{2}+(y&+2s{\sqrt {at}}\sin .u\sin .v)^{2}\\&+(z+2s{\sqrt {at}}\sin .u\cos .v)^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}=r^{2}+4s{\sqrt {at}}(x\cos .u+y\sin .u\sin .v&+z\sin .u\cos .v)\\&+4ats^{2}=\rho ^{2}.\end{aligned}}$

D’après le théorême contenu dans l’équation (1), nous aurons

$=\iint f_{\rho }.\sin .u\,du\,dv=2\pi \int f_{\rho '}.\sin .\theta \,d\theta ,$

si nous faisons

$r^{2}+4rs{\sqrt {at}}\cos .\theta +4ats^{2}=\rho ^{'2}.$

On tire de là

$\sin .\theta \,d\theta =-{\frac {\rho 'd\rho '}{2rs{\sqrt {at}}}}\,;$