et
étant les deux fonctions arbitraires que comporte l’intégrale complète de l’équation (10), d’après la forme de cette équation.
Il est aisé de faire disparaitre les imaginaires qui entrent dans cette expression de
il suffit, pour cela, de mettre à la place de
et
et
dans la première intégrale, et
et
dans la seconde ; changeant en outre les exponentielles imaginaires, en sinus et cosinus d’arcs réels, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=\iint &sin.(\alpha ^{2}+\beta ^{2})f\left(x+2\alpha {\sqrt {bt}},\,y+2\beta {\sqrt {bt}}\right)d\alpha \,d\beta \\&+\iint cos.(\alpha ^{2}+\beta ^{2})\operatorname {F} \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}},\,y+2\beta {\sqrt {bt}}\right)d\alpha \,d\beta \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cb37415c2f4b5cca906e22719e73885fc4fe23)
et
sont des fonctions arbitraires qui ne sont pas les mêmes que les précédentes ; mais les limites des intégrales n’ont pas changé, et sont toujours
![{\displaystyle \beta =\pm {\frac {1}{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23f710f67d2b8567f83f09fb655671e82278a27)
On donnera encore une autre forme à cette expression de
en faisant
![{\displaystyle x+2\alpha {\sqrt {bt}}=p,\qquad y+2\beta {\sqrt {bt}}=q\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65df15dbf21f7f5676dd27e9a8f7503566b30717)
ce qui la change en celle-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=&{\frac {1}{4bt}}\iint f(p,q)sin.\left({\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\right)dp\,dq\\&+{\frac {1}{4bt}}\iint \operatorname {F} (p,q)cos.\left({\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\right)dp\,dq.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f894c2f571eeb487ffbe42f726e27f0f7d6863b9)
J’avais déja donné, sous ces différentes formes, l’intégrale de l’équation (10) ; M. Fourrier a aussi integré cette équation, par d’autres moyens, dans un mémoire sur les vibra-