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tions des surfaces élastiques, qui n’a point encore été imprimé. ^[1]

(13) Les limites de l’intégrale relative à $p$ et et $q$ devraient aussi être $p=\pm {\frac {1}{0}},$ $q=\pm {\frac {1}{0}}\,;$ mais à cause que les fonctions arbitraires $f$ et $\operatorname {F}$ peuvent être discontinues, et qu’elles ne contiennent pas d’autres variables que $p$ et $q,$ il est évident que ces limites sont illusoires ; car on peut supposer ces fonctions, nulles dans une étendue quelconque des valeurs de $p$ et $q\,;$ ce qui revient à prendre les intégrales dans des limites qu’on est libre de choisir arbitrairement. Il en résulte même que chaque élément de ces intégrales doubles doit satisfaire isolément à l’équation (10), en sorte que cette équation sera satisfaite en prenant

$z={\frac {c}{t}}sin.\left({\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\right)+{\frac {c'}{t}}cos.\left({\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\right),$

ou la somme d’un nombre quelconque de termes semblables ; $c,\,c',\,p$ et $q$ étant regardées comme des constantes arbitraires. C’est, en effet, ce qu’il est aisé de vérifier par la substitution directe de cette valeur particulière de $z$ dans l’équation (10).

La même remarque s’appliquerait à l’intégrale de l’équation (7), si l’on y faisait

$x+2\alpha {\sqrt {at}}=p,\qquad y+2\beta {\sqrt {at}}=q,\qquad z+2\gamma {\sqrt {at}}=r\,;$

ce qui changerait la fonction arbitraire, contenue sous les signes d’intégration, en $f(p,\,q,\,r)\,:$ les limites des inté-

1. Voyez sur ce point le Bulletin de la Société philomatique, août et septembre 1818.