en supposant
Soit encore, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}f(x,y)}{dx^{2}}}&+{\frac {d^{2}f(x,y)}{dy^{2}}}&&=\varphi (x,y),\\{\frac {d^{2}\operatorname {F} (x,y)}{dx^{2}}}&+{\frac {d^{2}\operatorname {F} (x,y)}{dy^{2}}}&&=\Phi (x,y)\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db33e7c7d52d4ef63d4284bc804a8ab62e928b47)
en ayant égard à-la-fois aux deux fonctions
et
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dz}{dt}}&=b{\sqrt {-1}}\iint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}\varphi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\ \ \ y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\ \ \ \right)d\alpha \,d\beta \\&-b{\sqrt {-1}}\iint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}\Phi \left(x+2\alpha {\sqrt {-bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {-bt{\sqrt {-1}}}}\right)d\alpha \,d\beta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd127ab5efbee06c3345797832732a06df35f00d)
pour l’expression de
dont il faudra faire usage.
(15) Maintenant supposons qu’on ait
![{\displaystyle z=\psi (x,y),\qquad {\frac {dz}{dt}}=\Psi (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65acef60d649aa0960b5a403b5e85b8e97fb419a)
quand
il en résultera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,y)=&\left(f(x,y)+\operatorname {F} (x,y)\right)\iint e^{-\alpha ^{2}}e^{-\beta ^{2}}d\alpha \,d\beta ,\\\Psi (x,y)=&b{\sqrt {-1}}\left(\varphi (x,y)-\Phi (x,y)\right)\iint e^{-\alpha ^{2}}e^{-\beta ^{2}}d\alpha \,d\beta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ce924744b934bbd12d9a6ededa856657ca7f36)
En observant que
la première de ces deux équations donne
![{\displaystyle f(x,y)+\operatorname {F} (x,y)={\frac {1}{\pi }}\psi (x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4743013cb22f20559feddd62e13fb4a342a336)
et si l’on fait
![{\displaystyle \pi \,b{\sqrt {-1}}\left(f(x,y)-\operatorname {F} (x,y)\right)=\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdf4c191e9c4ebf7f2c59e0eacce7ef745d9aac)
la seconde devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}Z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}Z}{dy^{2}}}=\Psi (x,y).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2525171c8fd0e516dbaa86114f415c72c9b4e29b)
(11)