grales relatives à
cesseraient d’être déterminées ; et généralement il en est ainsi, toutes les fois que les fonctions arbitraires ne renferment que les seules variables auxiliaires par rapport auxquelles on doit intégrer.
(14) Dans les applications qu’on pourra faire de l’intégrale complète de l’équation (10), les deux fonctions arbitraires qu’elle contient, devront être déterminées, en général, d’après les valeurs initiales de
et
mais, avant de faire
dans l’expression de
il est nécessaire de lui faire subir la transformation suivante.
Si l’on différentie, par rapport à
la première expression trouvée
z, et qu’on fasse
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dz}{dt}}={\frac {\sqrt {b{\sqrt {-1}}}}{\sqrt {t}}}&\left(\iint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}f'\left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\right)\alpha \,d\alpha \,d\beta \right.\\+&\left.\iint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}f_{_{'}}\left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\right)\beta \,d\alpha \,d\beta \right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acdf1c147ad59ae0eda40f2f4c8b09440d70e83)
en supprimant, pour abréger, la partie relative à la fonction
qui est de la même forme, et se traitera de la inème manière que celle-ci. J’intègre par parties ; et à cause des limites
il vient
![{\displaystyle \int e^{-\alpha ^{2}}f'\left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\right)\alpha \,d\alpha =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4488cb0c9d37c4ccc292903745b4497cbb8f687b)
![{\displaystyle {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\int e^{-\alpha ^{2}}f''\left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\right)d\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116103a8eadef6a34e074aae60fe1c289550a470)
![{\displaystyle \int e^{-\beta ^{2}}f_{_{'}}\left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\right)\beta \,d\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccb4977e0d9d8e75d9f7f549424eb4a815f0468)
![{\displaystyle {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\int e^{-\beta ^{2}}f_{_{''}}\left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\right)d\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec347248a79c6558eabae935d86a080cc0b9991)