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les intégrations relatives à $\beta$ peuvent s’effectuer, et il en résulte

${\begin{aligned}z&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\iint \psi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}}\right)\left(sin.\alpha ^{2}+cos.\alpha ^{2}\right)d\alpha \\&\ +{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\iiint \Psi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}}\right)\left(sin.\alpha ^{2}+cos.\alpha ^{2}\right)dt\,d\alpha .\end{aligned}}$

En observant que $sin.\alpha ^{2}+cos.\alpha ^{2}=sin.\left(\alpha ^{2}+{\frac {\pi }{4}}\right),$ et faisant $x+2\alpha {\sqrt {bt}}=p,$ on a aussi

${\begin{aligned}z&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi \,bt}}}}\int \psi \,p\,sin.\left({\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}+{\frac {\pi }{4}}\right)dp\\&\ +{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \,b}}}}\iint \Psi \,p\,sin.\left({\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {dt}{\sqrt {t}}}dp\,:\end{aligned}}$

l’intégrale relative à $t$ doit s’évanouir quand $t=0,$ et les intégrales qui se rapportent à $p$ doivent être prises depuis $p=-{\frac {1}{0}},$ jusqu’à $p=+{\frac {1}{0}},$ afin de représenter l’état initial, ou les valeurs $z=\psi x$ et ${\frac {dz}{dt}}=\Psi x,$ qui répondent à $t=0.$

Ce cas particulier est celui des simples lames élastiques, dont Euler a déterminé les vibrations, mais d’après une intégrale particulière de l’équation (12).

Équation linéaire du second ordre, à deux variables
indépendantes, et à coefficients constants.

(19) La forme la plus générale de cette équation est

$\mathrm {A} {\frac {d^{2}z}{dx^{'2}}}+2\mathrm {B} {\frac {d^{2}z}{dx'dx}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+\mathrm {D} {\frac {dz}{dx'}}+\mathrm {E} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {F} z=0\,;$

nous la prenons pour exemple, parce que différentes questions de physique ou de mécanique, conduisent à des équations qui y sont comprises comme cas particuliers.