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Changeons la variable $x'$ en une autre variable $t,$ qui soit telle que l’on ait

$x'+mx=t\,;$

$m$ étant une constante indéterminée. Notre équation deviendra

$\mathrm {A} '{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2\mathrm {B} '{\frac {d^{2}z}{dt\,dx}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+\mathrm {D} '{\frac {dz}{dt}}+\mathrm {E} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {F} z=0\,;$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} '&=\mathrm {A} +2\mathrm {B} m+\mathrm {C} m^{2},\\\mathrm {B} '&=\mathrm {A} +\mathrm {B} m,\\\mathrm {D} '&=\mathrm {D} +\mathrm {E} m\,;\end{aligned}}$

de sorte qu’en prenant $\mathrm {A+B} m=0,$ elle se réduira à

$\mathrm {A} '{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+\mathrm {D} '{\frac {dz}{dt}}+\mathrm {E} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {F} z=0.$

Soit, de plus,

$z=e^{pt}e^{qx}\varphi \,;$

$\varphi$ étant une nouvelle variable, $e$ la base des logarithmes népériens, et $p$ et $q$ deux constantes indéterminées. Si l’on supprime le facteur $e^{pt}e^{qx},$ qui se trouvera commun à tous les termes de l’équation, après la substitution de cette valeur de $z,$ on aura

$\mathrm {A} '{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+\mathrm {P} {\frac {d\varphi }{dt}}+\mathrm {Q} {\frac {d\varphi }{dx}}+\mathrm {R} \varphi =0\,;$

et les valeurs de $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,$ seront

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=2\mathrm {A} 'p+\mathrm {D} '\\\mathrm {Q} &=2\mathrm {C} \;q+\mathrm {E} ,\\\mathrm {R} &=\mathrm {A} 'p^{2}+\mathrm {C} q^{2}+\mathrm {D} 'p+\mathrm {E} q+\mathrm {F} .\end{aligned}}$