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Cela posé, l’intégrale complète de l’équation (13) sera

${\begin{aligned}\varphi =fx&+{\frac {t^{2}}{1.2}}\delta \,fx+{\frac {t^{4}}{1.2.3.4}}\delta ^{2}fx+{\frac {t^{6}}{1.2.3.4.5.6}}\delta ^{3}fx+{\text{etc}}.\\&+t\operatorname {F} x+{\frac {t^{3}}{1.2.3}}\delta \operatorname {F} x+{\frac {t^{5}}{1.2.3.4.5}}\delta ^{2}\operatorname {F} x+{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}$

$fx$ et $\operatorname {F} x$ étant les deux fonctions arbitraires qu’elle doit renfermer.

La première partie de cette valeur de $\varphi$ se déduit de la seconde, en la différentiant par rapport à $t,$ et y remplaçant la fonction $\operatorname {F}$ par f\,; si donc nous faisons

$\mathrm {T} =t\operatorname {F} x+{\frac {t^{3}}{2.3}}\delta \operatorname {F} x+{\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}\delta ^{2}\operatorname {F} x+{\text{etc}}.,$

il nous suffira de chercher l’expression de $\mathrm {T}$ sous forme finie.

Or, d’après les analogies connues des puissances et des différences, on a généralement

$\delta ^{n}\operatorname {F} x=\left(ak^{2}+b\right)^{n}\operatorname {F} x,$

pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, les puissances de ${\displaystyle }$ soient des signes d’opérations qui indiquent des différentielles de $\operatorname {F} x,$ divisées par $dx\,;$ de cette manière, on aura

$\mathrm {T} =\left(1+{\frac {t^{2}}{2.3}}\left(ak^{2}+b\right)+{\frac {t^{4}}{2.3.4.5}}\left(ak^{2}+b\right)^{2}+{\text{etc}}.\right)t\operatorname {F} x,$

et en vertu des équations (2) du n^o 2, si l’on fait, pour abréger, $k{\sqrt {a}}cos.u+{\sqrt {b}}sin.usin.v=y,$ cette valeur de $\mathrm {T}$ pourra s’écrire ainsi :

$\mathrm {T} ={\frac {1}{4\pi }}\iint \left(1+ty+{\frac {t^{2}y^{2}}{2}}+{\frac {t^{3}y^{3}}{2.3}}+{\frac {t^{4}y^{4}}{2.3.4}}+{\text{etc}}.\right)t\operatorname {F} xsin.u\,du\,dv\,;$