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Si aucun des deux coëfficients $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {C}$ n’est égal à zéro, on pourra déterminer $p$ et $q,$ en faisant $\mathrm {P} =0$ et $\mathrm {Q} =0\,;$ et alors l’équation que nous considérons sera réduite à la forme

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+b\varphi .\qquad$(13)

Si, au contraire, l’un de ces coëfficients est nul ; qu’on ait, par exemple, $\mathrm {A} '=0,$ on ne pourra plus poser l’équation $\mathrm {P} =0\,;$ mais on pourra toujours déterminer $p$ et $q,$ en faisant $\mathrm {Q} =0$ et $\mathrm {R} =0\,;$ ce qui réduira l’équation proposée à cette autre forme :

${\frac {d\varphi }{dt}}=a{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}.$

Ainsi, l’équation générale du second ordre peut toujours être ramenée à l’une ou l’autre de ces deux formes particulières : nous avons intégré précédemment la dernière équation ; il ne nous reste donc plus qu’à considérer l’équation (13), dans laquelle $a$ et $b$ sont des coefficients constants qui peuvent être positifs ou négatifs.

(20) Pour exprimer commodément son intégrale en série ordonnée, suivant les puissances de $t,$ nous ferons usage de cette notation abrégée : $\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x,$ nous poserons

$a{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}+b\mathrm {X} =\delta \mathrm {X} ,$

et nous désignerons par $\delta ^{2}\mathrm {X} ,\delta ^{3}\mathrm {X} ,$ etc., ce que devient $\delta \mathrm {X} ,$ lorsqu’on y remplace $\mathrm {X}$ par $\delta \mathrm {X} ,\,\delta ^{2}\mathrm {X} ,$ etc.; en sorte qu’on ait généralement

$a{\frac {d^{2}\delta ^{n-1}\mathrm {X} }{x^{2}}}+b\delta ^{n-3}\mathrm {X} =\delta ^{n}\mathrm {X} .$