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Nous allons faire voir qu’au moyen du théorême que nous avons démontré au commencement de ce Mémoire (n^o 1), l’équation du mouvement des fluides, qui en est l’objet prin cipal, peut aisément s’intégrer par ce procédé.

(25) Reprenons donc l’équation

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right).\qquad$(c)

Son intégrale générale, développée en série d’exponentielles, sera

$\varphi =\sum \mathrm {A} e^{atp+gx+hy+kz}+\sum \mathrm {A} 'e^{-atp+gx+hy+kz}\,:$

les quantités $\mathrm {A,\,A'} ,\,g,\,h,\,k,$ sont indépendantes des variables $t,\,x,\,y,\,z\,;$ on a $p={\sqrt {g^{2}+h^{2}+k^{2}}},$ et les caractéristiques $\sum$ indiquent des sommes qui s’étendent à toutes les valeurs possibles de $\mathrm {A,\,A} ',\,g,\,h,\,k,$ réelles ou imaginaires. En changeant les coëfficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} ',$ en d’autres $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} ',$ nous pourrons écrire cette valeur de $\varphi ,$ sous la forme :

${\begin{aligned}\varphi =\sum \mathrm {B} \left(e^{atp}-e^{-atp}\right)&e^{gx+hy+kz}\\+\sum \mathrm {B} '&\left(e^{atp}+e^{-atp}\right)e^{gx+hy+kz},\end{aligned}}$

or, si nous faisons, pour abréger,

$gcos.u+hsin.usin.v+ksin.ucos.v=\alpha ,$

et que nous prenions, dans l’équation (1) dun^o i^er, $f\alpha =e^{at\alpha },$ nous aurons

$\iint e^{at\alpha }sin.u\,du\,dv={\frac {2\pi }{atp}}\left(e^{atp}-e^{-atp}\right)\,;$