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d’où nous concluons

${\begin{aligned}e^{atp}-e^{-atp}=&{\frac {ap}{2\pi }}.\iint e^{at\alpha }tsin.u\,du\,dv\\e^{atp}+e^{-atp}=&{\frac {1}{2\pi }}.{\frac {d.}{dt}}\iint e^{at\alpha }t\,sin.u\,du\,dv\,;\end{aligned}}$

et par conséquent

${\begin{aligned}\varphi =&{\frac {a}{2\pi }}\iint \left(\sum \mathrm {B} pe^{at\alpha }e^{gx+hy+kz}\right)t\,sin.u\,du\,dv\\&+{\frac {1}{2\pi }}{\frac {d.}{dt}}\iint \left(\sum \mathrm {B} 'e^{at\alpha }e^{gx+hy+kz}\right)t\,sin.u\,du\,dv\,;\end{aligned}}$

les intégrales étant prises depuis $u=0,$ $v=0,$ jusqu’à $u=\pi ,$ $v=2\pi .$

Posons maintenant

${\begin{aligned}{\frac {a}{2\pi }}\sum \mathrm {B} pe^{gx}e^{hx}e^{kx}=&f(x,y,z),\\{\frac {1}{2\pi }}\sum \mathrm {B} 'e^{gx}e^{hx}e^{kx}=&\operatorname {F} (x,y,z)\end{aligned}}$

de sorte que $f$ et $\operatorname {F}$ soient deux fonctions arbitraires et indépendantes l’une de l’autre ; nous en conclurons

${\begin{aligned}{\frac {a}{2\pi }}\sum \mathrm {B} pe^{g(x+x')}e^{h(y+y')}e^{k(z+z')}=&f(x+x',y+y',z+z'),\\{\frac {a}{2\pi }}\sum \mathrm {B} 'e^{g(x+x')}e^{h(y+y')}e^{k(z+z')}=&\operatorname {F} (x+x',y+y',z+z'),\end{aligned}}$

quelles que soient les quantités $x',\,y',\,z',$ en prenant donc

$x'=at\,cos.u,\qquad y'=at\,sin.u\,sin.v,\qquad z'=at\,sin.u\,cos.v,$

et remettant pour $\alpha$ ce que cette lettre représente, nous