très-ingénieux, la suite donnée par M. Lagrange pour la résolution d’une équation algébrique ou transcendante.
Les calculs de M. Parseval étant fondés sur la considération de séries dont la convergence n’est pas toujours assurée, les résultats auxquels il parvient ne pourront être considérés comme établis généralement d’une manière rigoureuse. Aussi l’auteur ayant cherche à les vérifier à postériori, dans le cas où l’équation proposée a toutes ses racines réelles, a-t-il reconnu que, dans cette hypothèse mème, l’intégrale qu’il substitue à la suite de M. Lagrange, ne représente une des racines que sous certaines conditions. La méthode de M. Cauchy, fondée immédiatement sur la propriété d’une classe d’intégrales définies, conduit facilement à la solution du problème dans tous les cas possibles. Nous nous bornerons aux principaux résultats.
1o Lorsqu’une équation a toutes ses racines réelles, chacune de ces racines peut être exprimée par une intégrale définie. Cette intégrale renferme deux constantes arbitraires entre lesquelles on suppose comprise la seule racine dont il est question. Du reste, ces deux constantes peuvent varier comme on voudra, sans que l’intégrale change pour cela de valeur. Si les deux constantes s’écartent l’une de l’autre, de manière que deux, trois ou quatre racines soient comprises entre elles, l’intégrale définie exprimera la somme de ces deux, trois, quatre racines, etc.
2o Lorsqu’une équation a en même temps des racines réelles et des racines imaginaires, on peut encore représenter chaque racine réelle par une intégrale définie qui renferme deux constantes arbitraires, pourvu que l’on suppose comprise entre ces deux constantes la partie réelle de la seule racine
