que l’on considère. Cette remarque suffit pour montrer en théorie que toute racine d’une équation peut être exprimée par une intégrale. Toutefois, comme dans le cas où l’on veut obtenir les valeurs numériques des racines, la détermination des deux constantes peut entrainer de longs calculs, il est alors préférable d’employer le moyen qui va être indiqué.
On cherchera d’abord une constante unique, inférieure au plus petit coefficient positif de dans les racines imaginaires. On y parviendra sans peine par la méthode exposée dans la quatrième note de la Résolution des équations numériques. Cela posé, il deviendra facile de substituer à l’équation proposée deux autres équations qui aient pour racines respectives, la première, les racines réelles de l’équation proposée, et la seconde, celles des racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de est positif. Les coefficients de ces deux équations seront intégrales définies renfermant la seule constante dont on vient de parler. On doit mème observer que si toutes les racines sont imaginaires, la constante dont il s’agit pourra être supposée nulle. Pour fixer les idées, considérons une équation du 6e ou 8e degré dont toutes les racines sont imaginaires. On pourra, d’après ce qu’on vient de dire, et sans la recherche préliminaire d’une constante, réduire immédiatement cette équation à deux autres du 3e ou du 4e degré.
Dans toutes les intégrales employées dans cette méthode, la fonction sous le signe est une fonction rationnelle de la variable, qui ne devient jamais infinie, et pour laquelle le degré du dénominateur est supérieur au moins de deux unités à celui du numérateur. Il en résulte chacune de ces que
