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contiennent différentes puissances de $r,$ supposez qu’on rabaisse toutes ces puissances au-dessous de $r^{n},$ en ne comptant $r^{n}$ que pour l’unité, quoique cette puissance soit effectivement $1+\mathrm {M} p.$ Supposez aussi que, dans ces résultats, à la place de la somme

$r+r^{a}+r^{a^{2}}+{\text{etc., ou }}r+r^{2}+r^{3}+{\text{ etc}}.,$

vous mettiez simplement $-1,$ quoique cette somme soit réellement $-1+\mathrm {M} p,$ comme on le voit par la proposée même. Alors votre formule

${\frac {{\sqrt[{n-1}]{\theta }}+{\sqrt[{n-1}]{\theta '}}+{\sqrt[{n-1}]{\theta ''}}+{\sqrt[{n-1}]{\theta '''}}+{\text{etc}}.}{n-1}},$

au lieu de répondre au nombre entier $r,$ répondra exactement à une racine imaginaire de l’équation binome $x^{n}-1=0.$ Et en effet, ce qu’on suppose à présent revient au même que si l’on eût entendu d’abord par la lettre $r$ une des racines imaginaires $n$^e de l’unité ; et, de plus, par l’ordre même $r,\,r^{a},\,r^{a^{2}},\,r^{a^{3}},$ etc., suivant lequel on a rangé ces racines, il est facile de voir que les développements $\theta ,\,\theta ',\,\theta '',$ etc., en sont devenus des fonctions invariables, d’où la lettre $r$ aura tout-à-fait disparu : ainsi la formule précédente coïncidera parfaitement avec celle des racines $n$^me imaginaires de l’unité^[1].

1. Voyez l’ouvrage cité plus haut, et l’analyse que j’en ai donnée dans le Magasin encyclopédique, année 1808.