Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/470

d’être élevée au quarré pour devenir une fonction invariable des racines $r,\,r^{2},\,r^{3},$ etc… Ainsi, il y a encore un radical ${\sqrt[{n-1}]{\theta '}}$ qui peut se remplacer par un simple radical quarré.

En général, parmi les racines de $x^{n}-1=0,$ quelques-unes appartiennent à des équations binomes inférieures $x^{h}-1=0,$ $h$ étant un diviseur de $n-1\,;$ et pour les fonctions $t',t'',$ etc., où ces racines seraient employées, on en fera des fonctions invariables de $r,\,r^{2},\,r^{3},$ etc., en les élevant simplement à la puissance $h.$ Il ne sera donc nécessaire d’élever aux puissances $n-1$^mes que les fonctions où l’on considère des racines uniquement propres à l’équation

$x^{n-1}-1=0,$

c’est-à-dire, qui ne résolvent pas en même temps d’autres équations binomes $x^{h}-1=0$ de degrés inférieurs. Ainsi, il n’y aura dans la formule d’autres radicaux du degré $n-1,$ que ceux qui seront dus à ces racines propres à l’équation $x^{h}-1=0.$ Et même, comme le nombre $n-1$ est toujours composé, ces derniers radicaux se réduisent, au fond, à des radicaux d’exposants marqués par les diviseurs simples de $n-1.$

8. Au reste, dans tous les cas particuliers, l’expression la plus simple des racines de l’unité pourra toujours s’obtenir d’une manière directe, en suivant une méthode toute semblable à la précédente. Mais, au lieu de considérer à-la-fois toutes les racines $r,\,r^{2},\,r^{3},\,r^{4},\,r^{5},$ etc., $r^{n-1},$ il faudra les partager d’abord en plusieurs groupes de racines liées entre elles de la même manière