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${\begin{aligned}t''\;=&r+\beta r^{a}+\beta ^{2}r^{a^{2}}+\beta ^{3}r^{a^{3}}+{\text{etc}}.,\\t'''=&r+\gamma r^{a}+\gamma ^{2}r^{a^{2}}+\gamma ^{3}r^{a^{3}}+{\text{etc}}.,\\{\text{etc}}.,\ \ &\end{aligned}}$

$1,\,\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., étant les racines de l’équation binome

$x^{n-1}-1=0.$

De plus, dans les fonctions $\theta ,\theta ',\theta '',\theta ''',$ etc., les puissances de $r$ ont eté rabaissées par-tout au-dessous de $r^{n}$ par la supposition de $r^{n}=1\,;$ ce qui, en supposant encore $r+r^{a}+r^{a^{2}}+{\text{etc}}.=-1,$ en a fait entièrement disparaître la lettre $r,$ et réduit la formule

$r={\frac {{\sqrt[{n-1}]{\theta }}+{\sqrt[{n-1}]{\theta '}}+{\sqrt[{n-1}]{\theta ''}}+{\sqrt[{n-1}]{\theta '''}}+{\text{etc}}.}{n-1}},$

à l’expression exacte de la racine $n$^me de l’unité, comme on l’a démontré plus haut.

Mais les fonctions $\theta ,\theta ',\theta '',$ etc., contiennent encore les racines $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., de l’équation binome $x^{n-1}-1=0\,;$ de sorte que la formule des racines de l’équation $x^{n}-1=0$ peut être regardée comme une fonction des racines $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., de l’équation inférieure $x^{n-1}-1=0.$

Or, dans le retour de cette formule aux nombres entiers, par la restitution convenable des multiples de $p,$ nous avons