par la méthode ordinaire ; car, en dégageant la racine réelle, ou le facteur
on a :
![{\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b7b75691a57278f1e81ead4cc607bf5adf33ab)
équation réciproque du sixième degré, qui se partage en trois du second, ou, si l’on veut, en ces deux du troisième degré,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}-\mathrm {X} x^{2}+\mathrm {X} 'x-1=&0,\\x^{3}+\mathrm {X} 'x^{2}+\mathrm {X} x-1=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898800c5886c68bb11dd4d24be9319ba6e15b745)
dans lesquelles
et
sont les racines de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+\mathrm {X} +2=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925e27c895138daa1a70d754f123bf6ee739e0ea)
ce qui donne :
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0180a5a24281622568d9f19eca205a7f20bc6c5)
Considérons la première,
![{\displaystyle x^{3}-\mathrm {X} x^{2}+\mathrm {X} 'x-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dfbcea446bf7b76572eaaa1087c7d3f6f04b37)
et, pour la résoudre à la manière ordinaire, faisons
et nous aurons la transformée :
![{\displaystyle u^{3}-3.{\sqrt {-7}}.u-14+{\sqrt {-7}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42838d195859cab4e09d73e7fb33be018c329a52)
qui donnera, toutes réductions faites,
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}+{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319fb9e940150acbbc16f88796c2fb43f54e832a)
d’où l’on tire, pour la formule des racines
mes imaginaires