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ainsi l’on aura :

$x=7\pm {\frac {1}{3}}48=7\pm 16=-6,\quad {\text{ou}}\quad -9\,;$

d’où l’on voit que les incommensurables ont disparu de la formule, et qu’on a trouvé les deux nombres $-6,\,-9,$ qui, avec le nombre $7$ deja trouvé, sont effectivement trois des racines septièmes de l’unité relativement à $29.$

Pour avoir les trois dernières racines, il faut prendre actuellement la seconde valeur de ${\sqrt {-7}},$ qui est $-14,$ et la formule deviendra, en réduisant :

$x=12+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(14+{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(14-{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}\,;$

ou, si l’on veut remplacer ${\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}$ par $7{\sqrt {2}},$ ce qui est la même chose par rapport à $29,$ on aura plus simplement :

$x=12+{\frac {1}{3}}({\sqrt[{3}]{\left(14+7{\sqrt {2}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{\left(14-7{\sqrt {2}}\right)}}.$

Mais cette formule ne se délivre pas des irrationnelles aussi facilement que la première. Cependant, comme elle doit répondre exactement à des entiers $x,$ nous sommes sûrs que les irrationnelles $14\pm 7{\sqrt {2}},$ qui sont sous les radicaux cubiques, doivent être des cubes exacts d’irrationnelles de même forme, afin que, dans l’addition des radicaux, les incommensurables puissent se detruire. Et en effet, avec un peu d’attention, il est facile de reconnaître que $14+7{\sqrt {2}}$ est, aux multiples près de $29$ (ce qui est toujours sous-entendu), le cube exact de l’irrationnelle de même forme, $5+11{\sqrt {2}};$ et que $14-7{\sqrt {2}}$ est le cube exact de l’irrationnelle conjuguée $5-11{\sqrt {2}}:$ de sorte qu’on aura, pour racines cubiques, les deux valeurs : $5+11{\sqrt {2}}$ et $5-11{\sqrt {2}}.$