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conséquent les radicaux cubes affectent des irrationnelles relativement au même nombre. Mais ces irrationnelles sont égales et de signes contraires ; elles se detruisent, et la formule se réduit simplement à $x={\frac {-1+14}{6}},$ et nous donne $x=7,$ qui est effectivement une des racines entières de la proposée.

Pour avoir les deux autres, il faut prendre les deux autres valeurs des radicaux cubes, et les combiner de manière que le produit fasse toujours ${\sqrt {-7}}=14\,;$ les valeurs de $x$ seront donc :

$x={\frac {-1+14}{6}}+{\frac {1}{3}}\alpha {\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}\beta {\sqrt[{3}]{\left({\frac {-3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},$

$x={\frac {-1+14}{6}}+{\frac {1}{3}}\beta {\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}\alpha {\sqrt[{3}]{\left({\frac {-3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},$

$\alpha$ et $\beta$ étant les deux racines cubiques imaginaires de l’unité, c’est-à-dire,

${\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.$

Les deux valeurs de $x$ se réduisent donc à

$x=7\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {-3}}.{\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}.$

À la vérité, les radicaux ${\sqrt {-3}}$ et ${\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}$ sont encore irrationnels par rapport à $29;$ mais leur produit est rationnel, car il est aisé de voir qu’on a (en remplaçant ${\frac {3}{2}}$ par $16,$ et $21$ par $-8$),

${\sqrt {-3}}.{\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}={\sqrt {-3}}.{\sqrt {-2}}.{\sqrt[{3}]{16}},$

ou $\qquad \qquad -{\sqrt {6}}.{\sqrt[{3}]{16}}=\mp 8\times -6=\pm 48\,;$