conséquent les radicaux cubes affectent des irrationnelles relativement au même nombre. Mais ces irrationnelles sont égales et de signes contraires ; elles se detruisent, et la formule se réduit simplement à
et nous donne
qui est effectivement une des racines entières de la proposée.
Pour avoir les deux autres, il faut prendre les deux autres valeurs des radicaux cubes, et les combiner de manière que le produit fasse toujours
les valeurs de
seront donc :
![{\displaystyle x={\frac {-1+14}{6}}+{\frac {1}{3}}\alpha {\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}\beta {\sqrt[{3}]{\left({\frac {-3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5756299031c2c24ae9dec645e71625643119e7)
![{\displaystyle x={\frac {-1+14}{6}}+{\frac {1}{3}}\beta {\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}\alpha {\sqrt[{3}]{\left({\frac {-3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d69f5be127f11f173d70392c72d3b08aa38779b)
et
étant les deux racines cubiques imaginaires de l’unité, c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1948100de54e78e70e203488bcac185e569888)
Les deux valeurs de
se réduisent donc à
![{\displaystyle x=7\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {-3}}.{\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bda194f3b539b3207b21ab7b5d13d92813d3aba)
À la vérité, les radicaux
et
sont encore irrationnels par rapport à
mais leur produit est rationnel, car il est aisé de voir qu’on a (en remplaçant
par
et
par
),
![{\displaystyle {\sqrt {-3}}.{\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}={\sqrt {-3}}.{\sqrt {-2}}.{\sqrt[{3}]{16}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec48d46ded3fc0f8b56f6b6e4e6feb885ea3999)
ou ![{\displaystyle \qquad \qquad -{\sqrt {6}}.{\sqrt[{3}]{16}}=\mp 8\times -6=\pm 48\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8734ff78333478aabaf26f768a54436409526bd7)