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Actuellement, considérez les trois fonctions linéaires :

${\begin{aligned}r+\ \ \;r^{2}+\quad r^{4}=&\mathrm {X} ,\\r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}=&t,\\r+\beta r^{2}+\beta ^{2}r^{4}=&t'\,;\end{aligned}}$

et vous aurez identiquement :

$r={\frac {\mathrm {X} +t+t'}{3}}={\frac {\mathrm {X} +{\sqrt[{3}]{t^{3}}}+{\sqrt[{3}]{t'\,^{3}}}}{3}}\,;$

c’est-à-dire, que le nombre $r$ sera mis sous la forme identique :

$r={\frac {r+r^{2}+r^{4}}{3}}+{\frac {\sqrt[{3}]{\left(r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}\right)^{3}}}{3}}+{\frac {\sqrt[{3}]{\left(r+\beta r^{2}+\beta ^{2}r^{4}\right)^{3}}}{3}}.$

Cette formule, en donnant aux radicaux cubiques les signes convenables, présentera indifferemment les trois racines $r,r^{2},r^{4};$ car il est évident qu’on aura :

${\begin{alignedat}{3}r^{2}&={\frac {r+r^{2}+r^{4}}{3}}&&+{\frac {\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\left(r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}\right)^{3}}}}{3}}&&+{\frac {\beta ^{2}{\sqrt[{3}]{\left(r+\beta r^{2}+\beta ^{2}r^{4}\right)^{3}}}}{3}},\\r^{4}&={\frac {r+r^{2}+r^{4}}{3}}&&+{\frac {\alpha {\sqrt[{3}]{\left(r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}\right)^{3}}}}{3}}&&+{\frac {\beta {\sqrt[{3}]{\left(r+\beta r^{2}+\beta ^{2}r^{4}\right)^{3}}}}{3}}.\end{alignedat}}$

On trouverait de même, pour les trois autres racines $r^{3},\,r^{6},\,r^{5}:$

${\begin{alignedat}{3}r^{3}=&{\frac {r^{3}+r^{6}+r^{5}}{3}}&&+{\frac {\sqrt[{3}]{\left(r^{3}+\alpha r^{6}+\alpha ^{2}r^{5}\right)^{3}}}{3}}&&+{\frac {\sqrt[{3}]{\left(r^{3}+\beta r^{6}+\beta ^{2}r^{5}\right)^{3}}}{3}},\\r^{6}=&{\frac {r^{3}+r^{6}+r^{5}}{3}}&&+{\frac {\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\left(r^{3}+\alpha r^{6}+\alpha ^{2}r^{5}\right)^{3}}}}{3}}&&+{\frac {\beta ^{2}{\sqrt[{3}]{\left(r^{3}+\beta r^{6}+\beta ^{2}r^{5}\right)^{3}}}}{3}},\\r^{5}=&{\frac {r^{3}+r^{6}+r^{5}}{3}}&&+{\frac {\alpha {\sqrt[{3}]{\left(r^{3}+\alpha r^{6}+\alpha ^{2}r^{5}\right)^{3}}}}{3}}&&+{\frac {\beta {\sqrt[{3}]{\left(r^{3}+\beta r^{6}+\beta ^{2}r^{5}\right)^{3}}}}{3}}.\end{alignedat}}$