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d’où il paraît que, dans la représentation et la disposition mutuelle des racines de l’unité, il reste encore quelque chose d’indéterminé et d’arbitraire ; ce qui, au fond, ne doit pas être, et laisse ainsi dans notre esprit une sorte de difficulté paradoxale qu’il faut résoudre.

Or, je vais faire voir que ces différents ordres sont le même au fond ; c’est-à-dire qu’un seul quelconque d’entre eux renferme actuellement tous les autres, sans qu’on puisse les distinguer par aucune analyse.

Et en effet, considérez l’un d’eux, comme le premier, par exemple, qui est représenté par

$r,\quad r^{a},\quad r^{a^{2}},\quad r^{a^{3}},\quad$etc.$\quad r^{a^{n-2}},$

et prenez-y les racines, non pas de suite ou de $1$ en $1,$ mais en sautant de l’une à l’autre par un intervalle constant $h$ inférieur et premier à leur nombre $n-1.$ Comme le nombre $h$ est premier à $n-1,$ il est clair que vous passerez nécessairement par toutes les racines avant de revenir à celle d’où vous êtes parti, et que vous aurez ainsi vos $n-1$ racines rangées dans le nouvel ordre :

$r,\quad r^{a^{h}},\quad r^{a^{2h}},\quad r^{a^{3h}},\quad$etc.$\quad r^{a^{(n-2)h}}.$

Mais cette suite peut être vue comme si elle était formée directement au moyen d’un nouvel exposant marqué par $a^{h}\,;$ d’où l’on voit d’abord que si $a$ est une racine primitive de $n,$ puissance $a^{h}$ en doit être une autre $b,$ et qu’ainsi le nouvel ordre tire du premier, en y prenant les racines de $h$ en $h,$ n’est autre chose que l’un de ceux que je considérais tout-à-lheure, tel que l’ordre