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La seconde donne, lorsqu’on met pour $\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}$ la valeur $1,$

${\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}={\frac {1}{r}}.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (c)$

Si maintenant on substitue dans l’équation $(a)$ les valeurs données par les équations $(b)$ et $(c),$ on aura

${\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dv}{dr}}:$

donc l’équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans le cylindre est

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left({\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dv}{dr}}\right),$

comme on l’a trouvé précédemment (art. 12).

Pour déterminer au moyen de l’équation générale $(\mathrm {E} )$ le mouvement de la chaleur dans une sphère qui a été plongée dans un liquide, on regardera $v$ comme une fonction de $r$ et $t,$ et $r$ comme une fonction de $x,\,y,\,z$ donnée par l’équation $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2};$ $r$ étant le rayon d’une enveloppe. On écrira ensuite

${\begin{alignedat}{3}{\frac {dv}{dx}}&={\frac {dv}{dr}}.{\frac {dr}{dx}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}&&={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dx}}\right)^{2}&&+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dx^{2}}}\\{\frac {dv}{dy}}&={\frac {dv}{dr}}.{\frac {dr}{dy}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}&&={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}&&+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\\{\frac {dv}{dz}}&={\frac {dv}{dr}}.{\frac {dr}{dz}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}&&={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}&&+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}.\end{alignedat}}$

En faisant les substitutions dans l’équation générale

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left[{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right],$