La seconde donne, lorsqu’on met pour
la valeur
![{\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}={\frac {1}{r}}.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff6ff7e1d00319d9cfe2c695f829077981db2ef)
Si maintenant on substitue dans l’équation
les valeurs données par les équations
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dv}{dr}}:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e748e70811a3c9f225197f0095ced3db18d7a803)
donc l’équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans le cylindre est
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left({\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dv}{dr}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85aa3b73588adfcdc0ac3a57c601acd7c739dff8)
comme on l’a trouvé précédemment (art. 12).
Pour déterminer au moyen de l’équation générale
le mouvement de la chaleur dans une sphère qui a été plongée dans un liquide, on regardera
comme une fonction de
et
et
comme une fonction de
donnée par l’équation
étant le rayon d’une enveloppe. On écrira ensuite
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {dv}{dx}}&={\frac {dv}{dr}}.{\frac {dr}{dx}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}&&={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dx}}\right)^{2}&&+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dx^{2}}}\\{\frac {dv}{dy}}&={\frac {dv}{dr}}.{\frac {dr}{dy}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}&&={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}&&+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\\{\frac {dv}{dz}}&={\frac {dv}{dr}}.{\frac {dr}{dz}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}&&={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}&&+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbd65a7ce11209201e60936784b6d682f067cf7)
En faisant les substitutions dans l’équation générale
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left[{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421ea7d5a6f415ed11a98853937167f74410ff56)