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n’a lieu qu’autant que la valeur de $x$ est comprise entre $0$ et $\pi ,$ ou entre $0$ et $-\pi .$ Pour toutes les autres valeurs de $x,$ le second membre a une valeur déterminée très-différente de ${\frac {1}{2}}x.$ On doit employer avec beaucoup de réserve les procédés de calcul qui fournissent ces séries, sans faire connaître les limites au-delà desquelles l’équation cesse de subsister. Ces limites n’étant les mêmes pas pour diverses équations, on obtiendrait par la combinaison de différentes séries des résultats erronés.

21. On a vu précédemment (art. 16, page 250) que la détermination du mouvement uniforme de la chaleur dans l’intérieur d’une lame rectangulaire dont une extrémité est retenue à la température $1,$ exigeait que l’on pût satisfaire à la condition suivante :

$1=a_{1}\cos .\left({\frac {\pi }{2}}y\right)+a_{2}\cos .\left({\frac {3\pi }{2}}y\right)+a_{3}\cos .\left({\frac {5\pi }{2}}y\right)+$etc.,

pour toutes les valeurs de $y$ comprises entre $1$ et $-1.$ Cette question est pleinement résolue au moyen de l’équation

${\frac {1}{4}}\pi =\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+$etc.,

qui a lieu pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $-{\frac {1}{2}}\pi$ et $+{\frac {1}{2}}\pi .$ Si l’on y suppose $x=\pi y,$ on aura

$1={\frac {4}{\pi }}\left(\cos .\pi y-{\frac {1}{3}}\cos .3\pi y+{\frac {1}{5}}\cos .5\pi y-{\frac {1}{7}}\cos .7\pi y+{\text{etc}}.\right).$

Donc les coëfficients cherchés sont

$a_{1}={\frac {4}{\pi }},\quad a_{2}=-{\frac {1}{3}}.{\frac {4}{\pi }},\quad a_{3}={\frac {1}{5}}.{\frac {4}{\pi }},\quad a_{4}=-{\frac {1}{7}}.{\frac {4}{\pi }},\quad$etc.