Si l’on considère maintenant les équations (c), qui donnent les valeurs des coëfficients
on aura les résultats suivants :
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\;\;{\frac {(2^{2}-1\;)(3^{2}-1\;)(4^{2}-1\;)(5^{2}-1\;)\ldots }{2^{2}\quad .\quad 3^{2}\quad .\quad 4^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=&\mathrm {A-BP_{1}+CQ_{1}-DR_{1}+ES_{1}-etc.} \\2b{\frac {(1^{2}-2^{2})(3^{2}-2^{2})(4^{2}-2^{2})(5^{2}-2^{2})\ldots }{1^{2}\quad .\quad 3^{2}\quad .\quad 4^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=&\mathrm {A-BP_{2}+CQ_{2}-DR_{2}+ES_{2}-etc.} \\3c{\frac {(1^{2}-3^{2})(2^{2}-3^{2})(4^{2}-3^{2})(5^{2}-3^{2})\ldots }{1^{2}\quad .\quad 2^{2}\quad .\quad 4^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=&\mathrm {A-BP_{3}+CQ_{3}-DR_{3}+ES_{3}-etc.} \\4d{\frac {(1^{2}-4^{2})(2^{2}-4^{2})(3^{2}-4^{2})(5^{2}-4^{2})\ldots }{1^{2}\quad .\quad 2^{2}\quad .\quad 3^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=&\mathrm {A-BP_{4}+CQ_{4}-DR_{4}+ES_{4}-etc.} \\{\text{etc}}.\qquad \qquad &\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7a14da00509fef2d81883fa6c8fb58d1a225f6)
En observant quels sont les facteurs qui manquent au numérateur et au dénominateur pour y compléter la double série des nombres naturels, on voit que ces facteurs se réduisent dans le premier cas à
dans le second à
dans le troisième à
dans le quatrième à
En sorte que les produits qui multiplient
sont alternativement
et
Il ne s’agit donc plus que de trouver les quantités
etc. Pour y parvenir, on remarquera que l’on peut faire dépendre ces valeurs des quantités
qui représentent les différents produits que l’on peut former avec les fractions
sans en omettre aucune. Quant à ces derniers produits, leurs valeurs sont données par les séries des développements de sinus. Nous représenterons donc par